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Lexikon der Mathematik: Wahrheitswert

Wert, den eine Aussage annehmen kann.

In der klassischen Mathematik sind Aussagen so präzise formuliert, daß sie entweder wahr oder falsch sind (Prinzip der Zweiwertigkeit). Entsprechend dieser Zweiwertigkeit (Wahrheit bzw. Falschheit von Aussagen) benutzt die zweiwertige Logik in der Regel als Wahrheitswerte W bzw. 1 für wahr und F bzw. 0 für falsch (siehe hierzu auch Aussagenlogik).

Für manche Zwecke ist es vorteilhaft, nicht nur zwischen wahren und falschen Aussagen zu unterscheiden. Auch eine im klassischen Sinne falsche Aussage kann einen nützlichen Informationsgehalt besitzen, sie könnte z. B. nur in „unwesentlichen Punkten” falsch oder „halb-wahr” sein. Zur genaueren Charakterisierung von Aussagen werden mehr als zwei (manchmal sogar auch unendlich viele) Wahrheitswerte zugelassen (mehrwertige Logik, s. a. Fuzzy-Logik). Ist M die Menge aller betrachteten Wahrheitswerte, dann wird eine nichtleere Teilmenge M* von M als Menge der ausgezeichneten Wahrheitswerte festgelegt, welche die Rolle von „wahr” in der zweiwertigen Logik übernehmen. Besteht M z.B. aus den drei Wahrheitswerten W, U, F (bzw. 1, \begin{eqnarray}\frac{1}{2}\end{eqnarray}, 0), dann könnte in der dreiwertigen Logik der Wahrheitswert U (bzw. \begin{eqnarray}\frac{1}{2}\end{eqnarray}) z.B. als „möglich, wahrscheinlich, unbestimmt, nicht definiert, unbekannt-ob wahr oder falsch, … “ interpretiert werden.

Aus logischer Sicht interessieren vor allem Wahrheitswertfunktionen, die aus Fortsetzungen von klassischen zweiwertigen Wahrheitswertfunktionen entstehen, wie z. B. die durch die folgenden Matrizen definierten (hierbei sei p eine Aussagenvariable, \begin{eqnarray}{\neg}_{3},{\vee}_{3},{\wedge}_{3},{\to}_{3},{\leftrightarrow}_{3}\end{eqnarray} stehen für klassische Aussagenverbindungen):

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Wahrheitswert
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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