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Lexikon der Mathematik: Wahrheitswertfunktion

Abbildung, die (entsprechend ihrer Stellenzahl) jedem n-Tupel von Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet.

Wahrheitswerte werden im Zusammenhang mit Gültigkeitsuntersuchungen von Aussagen in logischen Kalkülen oder in Logiken betrachtet.

Im folgenden bezeichne \begin{eqnarray} {\mathcal L} \end{eqnarray} eine Logik und M die Menge der zugrundegelegten Wahrheitswerte. \begin{eqnarray} {\mathcal L} \end{eqnarray} heißt zweiwertig, wenn M aus den Wahrheitswerten wahr und falsch besteht. Enthält M mehr als zwei Elemente, dann wird \begin{eqnarray} {\mathcal L} \end{eqnarray} mehrwertige Logik genannt.

Besonders wichtig sind die zweiwertigen Logiken, deren Wahrheitswerte hier mit 1 für wahr und 0 für falsch bezeichnet werden. Eine n-stellige Wahrheitswertfunktion ist in diesem Falle eine Abbildung \begin{eqnarray}f:{\{0,1\}}^{n}\to \{0,1\}\end{eqnarray}, die sich leicht in Form einer Wertetabelle darstellen läßt. Offenbar gibt es genau vier einstellige und 16 zweistellige Wahrheitswertfunktionen, die im folgenden mit \begin{eqnarray}{f}_{j}^{i}\end{eqnarray} bezeichnet werden, wobei i die Stellenzahl und j den Unterscheidungsindex angibt. Sind p, q Variablen für Wahrheitswerte, dann erhält man für n = 1:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Wahrheitswertfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Durch \begin{eqnarray}{f}_{3}^{1}\end{eqnarray} wird die Negation in der klassischen zweiwertigen Logik repräsentiert.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Wahrheitswertfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Durch \begin{eqnarray}{f}_{2}^{2},{f}_{5}^{2},{f}_{7}^{2},{f}_{8}^{2}\end{eqnarray} sind der Reihe nach die klassischen zweistelligen Aussagenoperationen, Alternative, Implikation, Äquivalenz und Konjunktion dargestellt (siehe auch Aussagenlogik).

Man überzeugt sich leicht davon, daß alle ein- und zweistelligen Wahrheitswertfunktionen allein mit \begin{eqnarray}{f}_{3}^{1}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}_{2}^{2}\end{eqnarray} bzw. mit \begin{eqnarray}{f}_{3}^{1}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}_{8}^{2}\end{eqnarray} definiert werden können. Es ist z. B. \begin{eqnarray}{f}_{2}^{2}(p,q)={f}_{3}^{1}({f}_{8}^{2}({f}_{3}^{1}(p),{f}_{3}^{1}(q))).\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}_{8}^{2}(p,q)={f}_{3}^{1}({f}_{2}^{2}({f}_{3}^{1}(p),{f}_{3}^{1}(q)))\end{eqnarray}

Allein die Funktionen \begin{eqnarray}{f}_{9}^{2}\end{eqnarray} (Sheffler-Funktion) oder \begin{eqnarray}{f}_{15}^{2}\end{eqnarray} (Peirce-Funktion) genügen, um alle anderen darstellen zu können. Folglich wäre es ausreichend, nur eine der beiden zweistelligen Aussagenoperationen zuzulassen, um alle aussagenlogisch zusammengesetzten Aussagen formulieren zu können. Allerdings sind wir es nicht gewohnt, Aussagen inhaltlich zu erfassen, die allein mit \begin{eqnarray}{f}_{9}^{2}\end{eqnarray} oder mit \begin{eqnarray}{f}_{15}^{2}\end{eqnarray} gebildet sind.

Weiterhin lassen sich sogar alle n-stelligen Wahrheitswertfunktionen allein durch diese repräsentieren, sodaß es keine Einschränkung der Allgemeinheit ist, wenn nur ein- und zweistellige Wahrheitswertfunktionen betrachtet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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