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Lexikon der Mathematik: Wahrscheinlichkeitsdichte

Dichte, Verteilungsdichte, in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie auf \begin{eqnarray}{\mathbb{R}}\end{eqnarray} definierte nicht-negative Funktion f mit \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{+\infty}{\int}}f(x)dx=1,\end{eqnarray}

wobei das Integral als (uneigentliches) RiemannIntegral wohldefiniert sein soll. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn f bis auf höchstens endlich viele Sprungstellen stetig ist. Für n > 1 heißt eine nicht-negative auf \begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}^{n}\end{eqnarray} definierte Funktion f eine n- dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{+\infty}{\int}}\cdots \displaystyle \underset{-\infty}{\overset{+\infty}{\int}}f({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})d{x}_{1}\cdots d{x}_{n}=1\end{eqnarray}

gilt, wobei das Integal wieder als (uneigentliches) Riemann-Integral wohldefiniert sein soll.

Allgemein ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte als Borel-meßbare Funktion \begin{eqnarray}f:{\mathbb{R}}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\mathbb{R}}}fd\lambda =1\end{eqnarray} definiert, wobei λ das Lebesgue-Maß bezeichnet und das Integral als Lebesgue-Integral zu verstehen ist. Dem eindimensionalen Fall entsprechend definiert man für n > 1 allgemein eine n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte als Borel-meßbare Abbildung \begin{eqnarray}f:{\mathbb{R}}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n}}fd{\lambda}^{n}=1,\end{eqnarray} wobei λn das n-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Zu jeder Wahrscheinlichkeitsdichte \begin{eqnarray}f:{\mathbb{R}}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray} existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borelschen σ-Algebra \begin{eqnarray}{\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}, dessen Verteilungsfunktion F durch \begin{eqnarray}F(x)=\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{x}{\int}}f(u)du\end{eqnarray} für alle \begin{eqnarray}x\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} gegeben ist. Eine entsprechende Aussage gilt auch für n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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