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Lexikon der Mathematik: Wavelet auf einem Intervall

Basisfunktion einer Multiskalenzerlegung des L2([0,1]).

Ein Ausgangspunkt für die Konstruktion von Wavelets auf einem Intervall basiert auf der Feststellung, daß zur numerischen Lösung zahlreicher Probleme Funktionen auf endlichen Intervallen von Interesse sind. Die einfachste Möglichkeit, Wavelets ψp auf [0, 1] zu erzeugen, ist die Periodisie-rung eines Wavelets ψ mit kompaktem Träger: \begin{eqnarray}{\psi}^{p}(x):=\displaystyle \sum _{l\in {\mathbb{Z}}}\psi (x-l).\end{eqnarray}

Dieser einfache Ansatz ist für oben genannte Anwendung nicht geeignet, da man mit dem Wavelet-Galerkin-Verfahren nicht nur Randwertprobleme mit periodischen, sondern mit beliebigen Randbedingungen behandeln möchte. Ein weiterer Nachteil ist, daß ψp eine geringere Anzahl von verschwindenden Momenten als ψ hat, was sich negativ auf die Kompressions-und Approximationseigenschaften der entsprechenden Wavelet-Basis auswirkt.

Ein anderer Ansatz, Wavelets auf einem Intervall zu konstruieren, ist, nur diejenigen Wavelets, deren Träger vollständig in [0, 1] liegt, zu verwenden, und am Rand des Intervalls speziell angepaßte Funktionen hinzuzufügen. Eine solche Konstruktion führt zu einer orthonormalen Wavelet-Basis des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray} mitgewünschter Anzahl verschwindender Momente. Auf ähnliche Weise können auch biorthogonale Wavelets auf einem Intervall konstruiert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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