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Lexikon der Mathematik: Wavelet-Basis

Basis \begin{eqnarray}\{{\psi}_{j,k}|j,k\in {\mathbb{Z}}\}\end{eqnarray} eines Funktionenraums, häufig des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}, die durch Translation und Dilatation einer einzigen Funktion ψ gewonnen wird. Man definiert \begin{eqnarray}{\psi}_{j,k}:={2}^{j/2}\psi ({2}^{j}.-k).\end{eqnarray} Klassische Wavelet-Basen sind orthogonal, d. h. es gilt \begin{eqnarray}\langle {\psi}_{j,k},{\psi}_{{j}^{^{\prime}},{k}^{^{\prime}}}\rangle ={\delta}_{j{j}^{^{\prime}}}{\delta}_{k{k}^{^{\prime}}}\end{eqnarray} für \begin{eqnarray}j,{j}^{^{\prime}},k,{k}^{^{\prime}}\in {\mathbb{Z}}\end{eqnarray}. Die Haar-Basis des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}, die mit der charakteristischen Funktion χ[0,1] als Generator entsteht, kann als ältestes Beispiel einer Wavelet-Basis aufgefaßt werden. Ziel neuerer Konstruktionen war es, höhere Glattheit der Basisfunktionen zu erreichen und trotzdem die Vorteile der Haar-Basis wie Kompaktheit der Träger der Wavelets beizubehalten. Die Konstruktion einer solchen Wavelet-Basis gelang Ingrid Daubechies 1988 (Daubechies-Wavelet).

Geht man von den strengen Forderungen wie kompakter Träger oder Orthogonalität der Translate, d. h. \begin{eqnarray}\langle \psi, \psi (.-k)\rangle ={\delta}_{0k,}\end{eqnarray} ab, so ergeben sich zahlreiche Verallgemeinerungen des Begriffs Wavelet-Basis. Beispiele dafür sind Prä-Wavelet-Basen, deren Basisfunktionen nur bzgl. verschiedener Skalen orthogonale Translate haben.

Meyer-Wavelets erzeugen eine orthogonale Wa-veletbasis mit Funktionen, die zwar keinen kompakten Träger haben, aber für betragsmäßig wachsendes Argument schneller als jede Potenz gegen Null gehen.

Biorthogonale Wavelet-Basen verfügen über eine allgemeinere Orthogonalitätsbedingung; Ausgangspunkt sind hier zwei Multiskalenzerlegungen des L2, deren Generatoren und Wavelets wechselseitig orthogonal sind. Wegen der erhöhten Flexibilität bei der Konstruktion biorthogonaler Basen kann man so operator-angepaßte Wavelet-Basen gewinnen. Weiterhin werden auch Wavelet-Basen in höheren Raumdimensionen konstruiert (mehrdimensionale Wavelets).

Eine andere Verallgemeinerung betrifft die betrachteten Funktionenräume, z. B. existieren auch Wavelet-Basen für Sobolew-oder Besowräume.

Weitere Varianten betreffen das zugrundeliegende Gebiet. Beispielsweise gibt es Konstruktionen von Wavelets auf einem Intervall, die zu einer Multiskalenzerlegung des L2([0, 1]) führen. Weiterhin werden diese Ansätze auch ausgenutzt, um Wavelet-Basen auf allgemeineren Mannigfaltigkeiten wie beispielsweise der zweidimensiona-len Sphäre zu konstruieren. Letztlich zu erwähnen sind die Wavelet-Pakete, bei denen die Waveletun-terräume Wj nochmals aufgesplittet werden, um so die Frequenzauflösung zu verbessern.

Siehe hierzu auch Wavelet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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