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Lexikon der Mathematik: Wavelet-Transformation

Integraltransformation einer Funktion f bezüglich eines festen Wavelets ψ.

Genauer ist die (kontinuierliche) Wavelet-Transformation einer Funktion \begin{eqnarray}f\in {L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray} definiert durch \begin{eqnarray}Wf(a,b):={|a|}^{-\frac{1}{2}}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\mathbb{R}}}f(x)\psi (\frac{x-b}{a})dx\end{eqnarray}

Dabei ist ψ ein fest gewähltes Wavelet mit ||ψ|| = 1, das die Zulässigkeitsbedingung \begin{eqnarray}2\pi \displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\mathbb{R}}}\frac{{|\psi (\xi)|}^{2}}{|\xi |}d\xi =:{C}_{\psi}\lt \infty \end{eqnarray} erfüllt.

Vorteilhaft für die Untersuchung des lokalen Verhaltens von f ist die Wahl eines Wavelets ψ mit kompaktem Träger in der Wavelet-Transformation. Ist ein solches Wavelet fixiert, so bewirkt der Verschiebungsparameter b in (1) das Enthaltensein lokaler Informationen von f an der Stelle b in Wf(a, b). Der Skalierungsparameter a bestimmt die Größe des analysierten Bereiches von f.

Die Wavelet-Transformation zum Wavelet ψ \begin{eqnarray}Wf(a,b):{L}_{2}({\mathbb{R}})\to {L}_{2}\left({{\mathbb{R}}}^{2},\frac{dadb}{{a}^{2}}\right)\end{eqnarray} ist eine Isometrie, daher wird sie auf ihrem Bildbereich durch ihre adjungierte Abbildung invertiert.

Für praktische Anwendungen wird häufig eine Diskretisierung der Wavelet-Transformation vorgenommen. Eine gängige Wahl für die Parameter in Wf(a, b) ist a = 2 und b = 1. In diesem Fall bildet die Familie \begin{eqnarray}{\psi}_{j,k}:={2}^{\frac{j}{2}}\psi ({2}^{j}.-k),\quad{j,k\in {\mathbb{Z}}}\end{eqnarray} eine orthonormale Basis des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}.

Ein Algorithmus zur effizienten Durchführung der diskreten Wavelet-Transformation ist die schnelle Wavelet-Transformation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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