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Lexikon der Mathematik: Wavelet-Vaguelette-Zerlegung

Zerlegung der Ansatz- und Testfunktionen in einem Galerkin-Verfahren mit dem Ziel, eine Operatorgleichung \begin{eqnarray}Lu=f\end{eqnarray} effizient zu lösen.

Es seien L ein stetiger linearer Operator \begin{eqnarray}L:{L}_{2}({\mathbb{R}})\to {L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray} und L* der adjungierte Operator. Startend mit einer orthogonalen Skalierungsfunktion ϕ und zugehörigem orthogonalen Wavelet ψ werden Funktionen v0,k und \begin{eqnarray}{w}_{m,k},k\in {\mathbb{Z}},m\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{+}\end{eqnarray}, durch \begin{eqnarray}{L}^{*}{v}_{0,K}={\lambda}_{0,K}\phi 0,k\\ {L}^{*}{w}_{m,k}={\mu}_{m,k}{\Psi}_{m,k}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\Vert {v}_{0,k}\Vert =\Vert {w}_{m,k}\Vert =1\end{eqnarray} definiert. Gilt die Normäquivalenz \begin{eqnarray}{\Vert \displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{c}_{0,}{}_{k}{v}_{0,k}+\displaystyle \sum _{m\ge 0}\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{d}_{m,k}{w}_{m,k}\Vert}_{{L}_{2}}^{2}\sim\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{c}_{0,k}^{2}+\displaystyle \sum _{m\ge 0}\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{d}_{m,k}^{2},\end{eqnarray}

dann heißt \begin{eqnarray}\left\{{{\phi _{0,k}},\,{\psi _{m,k}},\,{v_{0,k}},\,{w_{m,k}},\,{\lambda _{0,k}},\,{\mu _{m,k}}} \right\}\end{eqnarray} eine Wavelet-Vaguelette-Zerlegung des Operators L. Die Wavelet-Vaguelette-Zerlegung hat Ähnlichkeit mit der Singulärwertzerlegung eines kompakten Operators, das asymptotische Verhalten der μm,k ist vergleichbar mit dem der Singulärwerte.

Der Einsatz einer Wavelet-Vaguelette-Zerlegung für Galerkin-Verfahren zur Lösung einer Operatorgleichung der Form Lu = f ist für gewisse Klassen von Operatoren geeignet und führt auf ein lineares Gleichungssystem mit einer Diagonalmatrix als Koeffizientenmatrix. Vaguelettes werden hierbei für die Zerlegung der Testfunktionen verwendet. Beispielsweise sind die beim Galerkin-Ansatz für Faltungsoperatoren auftretenden Skalar-produkte (f, wm,k) effizient berechenbar. Dies ist ein wichtiger Aspekt für die praktische Verwendbarkeit der Methode.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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