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Lexikon der Mathematik: Wavelet-Zerlegung

Zerlegung einer Funktion bzw. einer Folge diskreter Werte mit Hilfe der Wavelet-Transformation.

Wegen der Inklusion V0V1 in der Multiskalen-zerlegung \begin{eqnarray}{\{{V}_{j}\}}_{j\in {\mathbb{Z}}}\end{eqnarray} eines Funktionenraums, z. B. des \begin{eqnarray}{L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray}, und der Eigenschaft \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\bigcap}\limits_{j\in {\mathbb{Z}}}{V}_{j}=\{0\},\end{eqnarray}

läßt sich V1 als direkte Summe von V0 und dem orthogonalen Komplement W0 schreiben, also \begin{eqnarray}{V}_{1}={V}_{0}\oplus {W}_{0},\quad{V}_{0}\perp {W}_{0}.\end{eqnarray}

Analog ist V0 zerlegbar in V–1W–1, und man erhält rekursiv \begin{eqnarray}{V}_{J}=\mathop{\mathop{\oplus}\limits^{J-1}}\limits_{j=-\infty}{W}_{j}\quad\text{und}\quad{L}_{2}({\mathbb{R}})=\mathop{\mathop{\oplus}\limits^{\infty}}\limits_{j=-\infty}{W}_{j}.\end{eqnarray} Jede Funktion \begin{eqnarray}f\in {L}_{2}({\mathbb{R}})\end{eqnarray} läßt sich damit orthogonal in \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{j}{f}_{j}\end{eqnarray} mit Funktionen fjWj zerlegen. Dabei enthält Wj die Details der Skala j, der Index j entspricht einer Frequenz. Ein Wavelet ψ zum Generator ϕ wird gerade so konstruiert, daß \begin{eqnarray}\langle \phi, \psi (.-k)\rangle =0\quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\,\,\,{\text{alle}}\,k \in {\mathbb{Z}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{W}_{0}:=\overline{\text{span}\{\psi (.-k)|k\in {\mathbb{Z}}\}}\end{eqnarray} gelten, wenn \begin{eqnarray}{V}_{0}:=\overline{\text{span}\{\phi (.-k)|k\in {\mathbb{Z}}\}}\end{eqnarray} ist. Skalierung und Translation von ψ ergeben \begin{eqnarray}{\psi}_{j,k}:={2}^{j/2}\psi ({2}^{j}.-k)j,k\in {\mathbb{Z}},\end{eqnarray}und es stellt sich heraus, daß \begin{eqnarray}{W}_{j}=\overline{{\text{span}}\{{\psi}_{j,k}|k\in {\mathbb{Z}}\}}\quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\,\,{\text{alle}}\,j\in {\mathbb{Z}}.\end{eqnarray}

Die Berechnung der Wavelet-Zerlegung wird mittels schneller Wavelet-Transformation durchgeführt. Eine Funktion wird damit auf ihre Waveletkoeffi-zienten abgebildet. Die Information, die in diesen Koeffizienten enthalten ist, hängt von der Auswahl des Wavelets bzw. der Filter ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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