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Lexikon der Mathematik: Weber-Funktion

die durch das Integral \begin{eqnarray}{E}_{\nu}(z):=\frac{1}{\pi}\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin (\nu\vartheta-z\sin \vartheta)d\vartheta \end{eqnarray}

definierte Funktion. Von Zeit zu Zeit findet man illerdings auch die Bessel-Funktion zweiter Ord-îung Yν als Weber-Funktion bezeichnet.

Es gelten folgende Relationen zwischen der Weber-Funktion und der Anger-Funktion Jν: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\sin(\nu\pi){\text{J}}\,_{\nu}(z)=\cos (\nu\pi){\text{E}}\,_{\nu}(z)-{\text{E}}\,_{-\nu}(z)\\ \sin (\nu\pi){\text{E}}\,_{\nu}(z)={\text{J}}\,_{-\nu}(z)-\cos (\nu\pi){\text{J}}\,_{\nu}(z)\end{array}\end{eqnarray}

Ferner kann man für \begin{eqnarray}n\in {{\mathbb{N}}}_{0}\end{eqnarray} die Weber-Funktion loch durch die Struve-Funktion H ν ausdrücken: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\text{E}}_{n}(z)=\displaystyle \frac{1}{\pi}\displaystyle \sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}\displaystyle \frac{\Gamma (k+\displaystyle \frac{1}{2}){(\displaystyle \frac{z}{2})}^{n-2k-1}}{\Gamma (n+\displaystyle \frac{1}{2}-k)}-{\text{H}}_{n}(z)\\ {\text{E}}_{-}{}_{n}(z)={\displaystyle \frac{(-1)}{\pi}}^{n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}\displaystyle \frac{\Gamma (n-k-\displaystyle \frac{1}{2}){(\displaystyle \frac{z}{2})}^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+\displaystyle \frac{3}{2})}-{\text{H}}_{n}(z)\end{array}\end{eqnarray}

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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