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Lexikon der Mathematik: Webersche Differentialgleichung

homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form \begin{eqnarray}{y}^{\prime\prime}-x{y}^{\prime} -ay=0.\end{eqnarray}

Mit geeigneten Konstanten C1, C2 ist \begin{eqnarray}\begin{array}{c}y(x)={C}_{1}\left(1+\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{a(a+2)\ldots (a+2i-2)}{(2i)!}{x}^{2i}\right)\\ +{C}_{2}\left(x+\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\frac{(a+1)(a+3)\ldots (a+2i-1)}{(2i+1)!}{x}^{2i+1}\right)\end{array}\end{eqnarray} eine Lösung der Weberschen Differentialgleichung (1).

Gilt –a = n ∈ ℕ, so geht die Gleichung (1) mit \(y=u(x)\exp \frac{1}{2}{x}^{2}\) in die Differentialgleichung \begin{eqnarray}{u}^{\prime\prime} +x{u}^{\prime}+(n+1)u=0\end{eqnarray} über. Diese besitzt die Lösung \begin{eqnarray}u=\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^{2}}({C}_{1}+{C}_{2}\displaystyle \int {e}^{\frac{1}{2}{t}^{2}}dt).\end{eqnarray} Mit \(y=u(x)\exp \frac{1}{4}{x}^{2}\) entsteht aus (1) die Webersche Differentialgleichung in der Form \begin{eqnarray}4{u}^{\prime\prime} -({x}^{2}+a)u=0.\end{eqnarray} Falls a = –2(2n + 1) (mit geeignetem n ∈ ℕ), so ist \begin{eqnarray}u={2}^{-\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{1}{4}{x}^{2}}{H}_{n}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}{H}_{n}(x)={(-1)}^{n}{e}^{{x}^{2}}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}{e}^{-{x}^{2}}\end{eqnarray} eine Lösung von (3).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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