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Lexikon der Mathematik: Wegintegral, komplexes

zentraler Begriff in der Funktionentheorie.

Zur Definition sei \(\gamma :[a,b]\to {\mathbb{C}}\) ein Weg und f eine (mindestens) auf dem Träger \(|\gamma |:=\gamma ([a,b])\) von γ definierte komplexwertige Funktion. Weiter sei Z eine Zerlegung von [a, b], d. h., Z besteht aus Zerlegungspunkten t0, t1, …, tn ∈ [a, b], n ∈ ℕ, mit \begin{eqnarray}a={t}_{0}\lt {t}_{1}\lt {t}_{2}\lt \cdots \lt {t}_{n-1}\lt {t}_{n}=b,\end{eqnarray}

und für k ∈ {1, …, n} sei Ik := [tk–1, tk]. Es bezeichne δ(Z) := maxk = 1, …, n (tktk – 1) die maximale Länge der Zerlegungsintervalle I1, …, In. Schließlich seien \({\tau }_{k}\in {I}_{k},k=1,\ldots, n\), sog. Zwischenpunkte und \(\tau :=({\tau }_{1},\ldots, {\tau }_{n})\in {[a,b]}^{n}\).

Dann betrachtet man die Riemann-Summe \begin{eqnarray}S(f;Z,\tau ):=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma ({\tau }_{k}))[\gamma ({\tau }_{k})-\gamma ({\tau }_{k-1})].\end{eqnarray}

Man nennt f integrierbar über γ, falls eine Zahl I ∈ ℂ mit folgender Eigenschaft existiert: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 derart, daß für jede Zerlegung Z von [a, b] mit δ(Z) < δ und jede Wahl der Zwischenpunkte \({\tau }_{1},\ldots, {\tau }_{n}\) gilt \begin{eqnarray}|I-S(f;{Z}_{n},\tau )|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Die Zahl I heißt dann (komplexes) Wegintegral von f über γ und wird mit \begin{eqnarray}I=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz\end{eqnarray}

bezeichnet. In diesem Fall heißt f integrierbar über γ.

Die Definition des Wegintegrals I ist unabhängig von der speziellen Wahl der Parameterdarstellung des Weges γ. Ist nämlich \(\tilde{\gamma }:[c,d]\to {\mathbb{C}}\) ein zu γ äquivalenter Weg (d. h. es existiert eine stetige, streng monoton wachsende Funktion φ : [c, d] → [a, b] mit φ(c) = a, φ(d) = b und \(\tilde{\gamma }=\gamma \circ \varphi \)), so gilt \begin{eqnarray}I=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\tilde{\gamma} }f(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz\end{eqnarray}

Man kann I auch als (Riemann-)Stieltjes-Integral auffassen, d. h. \begin{eqnarray}I=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\tilde{f}(t)d\gamma (t),\end{eqnarray}

wobei = fγ : [a, b] → ℂ. Ist speziell γ = t für alle t ∈ [a, b], so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dx=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt,\end{eqnarray}

wobei auf der rechten Seite das übliche Riemann-Integral einer Funktion einer Veränderlichen steht.

Eine hinreichende Bedingung für die Existenz des Wegintegrals I ist die Rektifizierbarkeit von γ und die Stetigkeit von f auf |γ|. Man nennt γ dann auch einen Integrationsweg. In der Funktionentheorie ist in der Regel f eine holomorphe Funktion in einem Gebiet G с ℂ, das |γ| enthält.

Es sind noch weitere Integrale von Interesse, nämlich \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdx,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdy,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fd\bar{z},\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f|dz|.\end{eqnarray}

Diese werden wie oben definiert, indem man die Summe S(f; Z, τ) durch \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma ({\tau }_{k}))[x({\tau }_{k})-x({\tau }_{k-1})]\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma ({\tau }_{k}))[y({\tau }_{k})-y({\tau }_{k-1})]\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma ({\tau }_{k}))[\overline{\gamma ({\tau }_{k})}-\overline{y({\tau }_{k-1})}]\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma ({\tau }_{k}))[\gamma ({\tau }_{k})-\gamma ({\tau }_{k-1})]\end{eqnarray}

ersetzt, wobei γ(t) = x(t) + iy(t) für t ∈ [a, b]. Es gilt dann \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdx+i\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdy,\\ \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdx=\frac{1}{2}\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fd\bar{z}\right),\\ \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdy=\frac{1}{2i}\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fd\bar{z}\right),\\ \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fd\bar{z}=\overline{\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\bar{f}dz.}\end{array}\end{eqnarray}

Ist γ rektifizierbar, und setzt man f(z) = 1 für alle z ∈ |γ|, so ist γ |dz| gerade die Bogenlänge l(γ) von γ.

Man kann das komplexe Wegintegral auch durch reelle Wegintegrale (Wegintegral, reelles) darstellen. Dazu sei f = u + iv. Dann gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }(udx-\upsilon dy)+i\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }(\upsilondx- udy).\end{eqnarray}

Ist γ ein stetig differenzierbarer Weg, so ist γ rektifizierbar, und für jede auf |γ| stetige Funktion f gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz & =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime} (t)dt\\ & =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}[u(\gamma (t)){x}^{\prime}(t)-\upsilon (\gamma (t)){y}^{\prime} (t)]dt\\ & +i\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}[\upsilon (\gamma (t)){x}^{\prime}(t)+u(\gamma (t)){y}^{\prime}(t)]dt.\end{array}\end{eqnarray}

In den neueren Lehrbüchern zur Funktionentheorie werden häufig nur Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wege betrachtet.

Nun werden noch die wichtigsten Eigenschaften komplexer Wegintegrale zusammengestellt. Dabei seien alle auftretenden Wege γ rektifizierbar und C(|γ|) die Menge aller stetigen Funktionen f : |γ| → ℂ.

  1. Das Wegintegral ist ℂ-linear, d. h. für α, β → ℂ und f, gC(|γ|) gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }(\alpha f+\beta g)dz=\alpha \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz+\beta \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }gdz.\end{eqnarray}
  2. Es seien γ : [a, b] → ℂ und \(\tilde{\gamma }:[\tilde{a},\tilde{b}]\to {\mathbb{C}}$| Wege derart, daß der Endpunkt von γ mit dem Anfangspunkt von γ̃ übereinstimmt, d. h. \(\gamma (b)=\tilde{\gamma }(\tilde{a})\). Dann ist der Summenweg \begin{eqnarray}\gamma +\mathop{\gamma }\limits^{\sim }:[a,\mathop{b}\limits^{\sim }-\mathop{a}\limits^{\sim }+b]\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray} definiert durch \begin{eqnarray}(\gamma +\tilde{\gamma })(t):=\left\{\begin{array}{cc}\gamma (t) & \begin{array}{l}{\rm{f}}\ddot{{\rm{u}}}{\rm{r}}\,t\in [a,b]\end{array},\\ \tilde{\gamma }(t+\tilde{a}-b) & {\rm{f}}\ddot{{\rm{u}}}{\rm{r}}\,t\in [b,\tilde{b}-\tilde{a}+b],\end{array}\right.\end{eqnarray} und \(f\in C(|\gamma +\mathop{\gamma }\limits^{}|)\) gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma +\tilde{\gamma }}fdz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\tilde{\gamma }}fdz.\end{eqnarray}
  3. Ist \(\gamma :[a,b]\to {\mathbb{C}}\) ein Weg, so ist der Umkehrweg \(-\gamma :[a,b]\to {\mathbb{C}}\) definiert durch \begin{eqnarray}(-\gamma )(t):=\gamma (a+b-t),\end{eqnarray} und für fC(|γ|) gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{-\gamma }fdz=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz.\end{eqnarray}
  4. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, g eine in G holomorphe Funktion, γ : [a, b] → G ein Weg und \(\hat{\gamma }:=g \circ \gamma :[a,b]\to {\mathbb{C}}\) der Bildweg. Dann ist \(\hat{\gamma }\) rektifizierbar, und für jedes \(f\in C(|\hat{\gamma }|)\) gilt die Transformationsformel \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\hat{\gamma }}f(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(g(\zeta )){g}^{\prime}(\zeta )d\zeta.\end{eqnarray}
  5. Für jedes fC(|γ|) gilt \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }fdz\right|\le \displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }|f||dz|\le {\Vert f\Vert }_{\gamma }l(\gamma ),\end{eqnarray} wobei \(||f|{|}_{\gamma }:=\mathop{\max }\limits_{z\in |\gamma |}|f(z)|.\)
Siehe auch Integrabilität und Wegintegral, reelles.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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