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Lexikon der Mathematik: Wegintegral, reelles

zentraler Begriff in der mehrdimensionalen reellen Analysis.

Ein reelles Wegintegral ist ein Integral der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}}).d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f \circ \varphi d\varphi,\end{eqnarray} wobei n ∈ ℕ, a, b ∈ ℝ mit a < b, \begin{eqnarray}\varphi :[a,b]\to {{\mathbb{R}}}^{n}\quad\mathrm{stetig}\quad({\unicode{x201A}}Weg{\unicode{x201B}})\end{eqnarray} und f eine zumindest auf \(\varphi ([a,b])\) definierte ℝn wertige Abbildung sind. Mit den Koordinatenfunktionen fv bzw. \({\varphi }_{\nu }\) von f bzw. ϕ kann dies über einfache Stieltjes-Integrale definiert werden: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}})\cdot d{\mathfrak{x}}:=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{v}\circ \varphi d{\varphi }_{v}\end{eqnarray}

Für stetiges f und φ von beschränkter Variation hat man die Existenz des Integrals. Wie gewohnt liest man die Linearität bezüglich des Integranden ab.

Mit dem Weg \({\varphi }^{-}:[-b,-a]{\unicode{x220B}}t\mapsto \varphi (-t)\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) glit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi -}f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}.\end{eqnarray}

Für a < c < b und \({\psi }_{1}:[a,c]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\) und \({\psi }_{2}:[c,b]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\) mit \({\psi }_{1}(c)={\psi }_{2}(c)\), also Endpunkt von ψ1 gleich Anfangspunkt von ψ2, gilt für \(\psi :[a,b]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\), definiert durch \(\psi (t)={\psi }_{1}(t)\) für atc und \(\psi (t)={\psi }_{2}(t)\) für c < t ≤ b (‚zusammengesetzter Weg‛), mit \(\psi ={\psi }_{1}+{\psi }_{2}\)\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\psi }_{1}+{\psi }_{2}}f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\psi }_{1}}f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}}+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\psi 2}f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}}.\end{eqnarray}

Die beiden letzten abgesetzten Formeln sind implizit jeweils so zu lesen, daß der Ausdruck auf der rechten Seite genau dann existiert, wenn der auf der linken Seite existiert. Für die praktische Rechnung wird man in der Regel (eventuell auch nur auf Teilintervallen) die folgene Aussage heranziehen:

Ist ϕ stetig differenzierbar, so hat man \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}} & =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\varphi (t))\cdot{\varphi }^{\prime} (t)dt\\ & =\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{v}(\varphi (t)){{\varphi }^{\prime}_{v}}(t)dt.\end{array}\end{eqnarray}

Die Betrachtung von Äquivalenzklassen von Wegen führt zu Kurven. Aus den Eigenschaften des Wegintegrals ergeben sich dann unmittelbar Eigenschaften des Kurvenintegrals.

Siehe auch Wegintegral, komplexes.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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