zentraler Begriff in der mehrdimensionalen reellen Analysis.

Ein reelles Wegintegral ist ein Integral der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}}).d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f \circ \varphi d\varphi,\end{eqnarray} wobei n ∈ ℕ, a, b ∈ ℝ mit a < b, \begin{eqnarray}\varphi :[a,b]\to {{\mathbb{R}}}^{n}\quad\mathrm{stetig}\quad({\unicode{x201A}}Weg{\unicode{x201B}})\end{eqnarray} und f eine zumindest auf \(\varphi ([a,b])\) definierte ℝⁿ wertige Abbildung sind. Mit den Koordinatenfunktionen f_v bzw. \({\varphi }_{\nu }\) von f bzw. ϕ kann dies über einfache Stieltjes-Integrale definiert werden: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}})\cdot d{\mathfrak{x}}:=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{v}\circ \varphi d{\varphi }_{v}\end{eqnarray}

Für stetiges f und φ von beschränkter Variation hat man die Existenz des Integrals. Wie gewohnt liest man die Linearität bezüglich des Integranden ab.

Mit dem Weg \({\varphi }^{-}:[-b,-a]{\unicode{x220B}}t\mapsto \varphi (-t)\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) glit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi -}f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}.\end{eqnarray}

Für a < c < b und \({\psi }_{1}:[a,c]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\) und \({\psi }_{2}:[c,b]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\) mit \({\psi }_{1}(c)={\psi }_{2}(c)\), also Endpunkt von ψ₁ gleich Anfangspunkt von ψ₂, gilt für \(\psi :[a,b]\mapsto {{\mathbb{R}}}^{n}\), definiert durch \(\psi (t)={\psi }_{1}(t)\) für a ≤ t ≤ c und \(\psi (t)={\psi }_{2}(t)\) für c < t ≤ b (‚zusammengesetzter Weg‛), mit \(\psi ={\psi }_{1}+{\psi }_{2}\)\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\psi }_{1}+{\psi }_{2}}f({\mathfrak{x}}) \cdot d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\psi }_{1}}f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}}+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\psi 2}f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}}.\end{eqnarray}

Die beiden letzten abgesetzten Formeln sind implizit jeweils so zu lesen, daß der Ausdruck auf der rechten Seite genau dann existiert, wenn der auf der linken Seite existiert. Für die praktische Rechnung wird man in der Regel (eventuell auch nur auf Teilintervallen) die folgene Aussage heranziehen:

Ist ϕ stetig differenzierbar, so hat man \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\varphi }f({\mathfrak{x}})\cdotd{\mathfrak{x}} & =\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\varphi (t))\cdot{\varphi }^{\prime} (t)dt\\ & =\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{v}(\varphi (t)){{\varphi }^{\prime}_{v}}(t)dt.\end{array}\end{eqnarray}

Die Betrachtung von Äquivalenzklassen von Wegen führt zu Kurven. Aus den Eigenschaften des Wegintegrals ergeben sich dann unmittelbar Eigenschaften des Kurvenintegrals.

Siehe auch Wegintegral, komplexes.