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Lexikon der Mathematik: Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals

die Aussage, daß unter geeigneten Voraussetzungen ein Kurvenintegral zu einen gegebenem \(f:\mathfrak{C}\to {{\mathbb{R}}}^{n}\) (‚Vektorfeld‛) \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\mathfrak{C}}\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle \end{eqnarray} für beliebige a, b in \({\mathfrak{B}}\) nur von Anfangspunkt \(a=a(\mathfrak{C})\) und Endpunkt \(e=e(\mathfrak{C})\) der verbindenden Kurve \(\mathfrak{C}\) abhängt.

Im allgemeinen hängt bei festem Anfangspunkt und Endpunkt dieser Wert noch von der Kurve ab, die die beiden Punkte verbindet. Wir betrachten dabei zu n ∈ ℕ nur Kurven \(\mathfrak{C}\), die in einem vorgegebenen Gebiet \({\mathfrak{B}}\) im ℝn verlaufen.

Als erstes einfaches Resultat gilt dazu:

Besitzt die Kurve eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung, und existiert eine Stammfunktion F zu f (man sagt, das ‚Feld ist konservativ‛), so ist \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\mathfrak{C}}\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle =F(e(\mathfrak{C}))-F(a(\mathfrak{C})).\end{eqnarray}

Das Kurvenintegral ist also unter diesen Voraussetzungen wegunabhängig. Natürlich kann man dabei ‚stetig differenzierbar‛ für die Parameterdarstellung abschwächen zu ‚stückweise stetig differenzierbar‛. Offenbar gilt:

\(\mathop{\int }\limits_{\mathfrak{C}}\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle \)ist genau dann wegunabhängig, wenn für jede geschlossene Kurve \(\mathfrak{C}\)in \(\mathfrak{B}\)das Kurvenintegral Null ist.

Die erste Überlegung kann ausgebaut werden zu:

Das Kurvenintegral \(\mathop{\int }\limits_{\mathfrak{C}}\langle f|d{\mathfrak{x}}\rangle \)ist genau dann wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion zu f existiert.

Ist die Funktion f sogar stetig differenzierbar, dann sind notwendig für die Existenz einer Stammfunktion (Existenz eines Potentials zu gegebenem Vektorfeld) zu f die Integrabilitätsbedingungen \begin{eqnarray}{D}_{v}{f}_{\mu }={D}_{v}{f}_{v}\quad(v,\mu =1,\ldots, n\quad\mathrm{und}\quadv\ne \mu ).\end{eqnarray}

Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Schwarz (Schwarz, Satz von). Für n = 3 können sie einfach durch \begin{eqnarray}\mathrm{rot}f=0\quad(\mathrm{Fled\; ist}{\unicode{x201E}}{wirbelfrei}{\unicode{x201F}})\end{eqnarray} beschrieben werden.

Die Integrabilitätsbedingungen sind jedoch für stetig differenzierbares f nicht hinreichend, wie etwa das folgende Standardbeispiel zeigt: \begin{eqnarray}{\mathfrak{G}}:={{\mathbb{R}}}^{2}\backslash \left\{\left(\frac{0}{0}\right)\right\};\\ {f}_{1}\left(\frac{x}{y}\right):=\frac{-y}{{x}^{2}+{y}^{2}},\quad{f}_{2}:=\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}};\end{eqnarray}

dann ist \(f:=\left(\begin{array}{c}{f}_{1}\\ {f}_{2}\end{array}\right)\) stetig differenzierbar, und die Integrabilitätsbedingungen (hier: D1f2 = D2f1) sind erfüllt. (Es existiert jedoch keine Stammfunktion, was hier nicht noch ausgeführt werden soll.)

Ist jedoch das betrachtete Gebiet einfach zusammenhängend, spezieller sternförmig, so sind die Integrabilitätsbedingungen auch hinreichend.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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