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Lexikon der Mathematik: weiche Garbe

Begriff in der Garbentheorie.

Sei X ein komplexer Raum. Eine Garbe 𝒮 über X heißt weich, wenn für jede abgeschlossene Menge AX die Einschränkungsabbildung 𝒮(X) → 𝒮(A) surjektiv ist, d. h. wenn jeder Schnitt über A zu einem Schnitt über ganz X fortsetzbar ist. Insbesondere ist die Strukturgarbe einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit weich.

Für Modulgarben hat man ein handliches Weichheitskriterium in Form einer Trennungsbedingung.

Es sei X metrisierbar und \( {\mathcal R} \)eine Garbe von Ringen (mit Eins) über X. Zu jeder in X abgeschlossenen Teilmenge A und jeder offenen Umgebung WX von A gebe es einen Schnitt \(f\in {\mathcal R} (X)\), so daß gilt: \begin{eqnarray}f|A=1,f|X\backslash W=0.\end{eqnarray}

Dann ist jede \( {\mathcal R} \)-Modulgarbe \({\mathcal{S}}\)weich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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