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Lexikon der Mathematik: Weierstraß-Faktor

Weierstraßscher Elementar-faktor, für p ∈ \({\mathbb{N}}\) definiert durch \begin{eqnarray}{E}_{P}(z):=(1-z)\exp \left(z+\frac{{z}^{2}}{2}+\frac{{z}^{3}}{3}+\mathrm{...}+\frac{{z}^{p}}{p}\right).\end{eqnarray} Man setzt noch \begin{eqnarray}{E}_{0}(z)\ :=1-z.\end{eqnarray}

Offensichtlich ist Ep eine ganze Funktion mitEp(z0) = 0 genau dann, wenn z0 = 1, und für dieNullstellenordnung gilt o(Ep, 1) = 1.

Man erhält leicht folgende wichtige Eigenschaf-ten: Die Ableitung von Ep ist für p ∈ \({\mathbb{N}}\) und z ∈ \({\mathbb{C}}\) gegeben durch \begin{eqnarray}{E}_{P}^{,}(z):=-{z}^{p}\exp \left(z+\frac{{z}^{2}}{2}+\frac{{z}^{3}}{3}+\mathrm{...}+\frac{{z}^{p}}{p}\right).\end{eqnarray} Für die Taylor-Reihe von Ep um 0 gilt \begin{eqnarray}{E}_{P}(z)=1+\displaystyle \sum _{n=p+1}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n},\end{eqnarray} wobei an ≤ 0 und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=p\text{+1}}^{\infty }{a}_{n}=-1.\end{eqnarray} Hieraus folgt für \(p\in {{\mathbb{N}}}_{0}\) und |z| ≤ 1 \begin{eqnarray}|{E}_{P}(z)-1|\le {|z|}^{p+1}.\end{eqnarray}

Weierstraß-Faktoren spielen eine zentrale Rollebei der Definition von Weierstraß-Produkten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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