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Lexikon der Mathematik: Weierstraß, Faktorisierungssatz von

lautet:

Es sei f eine ganze Funktion. Dann gilt \begin{eqnarray}f(z)={z}^{m}{e}^{g}p(z),z\in {\mathbb{C}}.\end{eqnarray}Dabei ist m = o(f, 0) ∈ ℕ0die Nullstellenordnung von 0, g eine ganze Funktion, und P ein Weierstraß-Produkt, das in ℂ\{0} dieselben Nullstellen mit denselben Nullstellenordnungen wie f hat. Falls f nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist P ein Polynom. Gilt f (z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ \{0}, so ist P(z) = 1 für alle z ∈ ℂ.

Über die Funktion g kann man im allgemeinen keine weiteren Aussagen machen. Ist die Wachstumsordnung ρ von f jedoch endlich, so kann P als kanonisches Weierstraß-Produkt gewählt werden, und g ist ein Polynom vom Grad höchstens [ϱ]. Siehe hierzu Hadamardscher Faktorisierungssatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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