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Lexikon der Mathematik: Weierstraß, Konvergenzsatz von

lautet:

Es sei D ⊂ \({\mathbb{C}}\)eine offene Menge und (fn) eine Folge holomorpher Funktionen in D, die in D kompakt konvergent gegen die Grenzfunktion f ist.

Dann ist f holomorph in D, und für jedes k ∈ \({\mathbb{N}}\)ist die Folge (\({f}_{n}^{(k)}\)) der k-ten Ableitungen in D kompakt konvergent gegen f(k).

Eine entsprechende Aussage gilt auch für Funktionenreihen:

Es sei D ∈ \({\mathbb{C}}\)eine offene Menge und \(\mathop{\sum_{n=0}^{\infty}}{f}_{n}\)eine Reihe holomorpher Funktionen in D, die in D kompakt konvergent gegen die Grenzfunktion f ist.

Dann ist f holomorph in D, und für jedes k ∈ \({\mathbb{N}}\)ist die k-fach gliedweise differenzierte Reihe \(\mathop{\sum_{n=0}^{\infty}}{f}_{n}^{(k)}\)in D kompakt konvergent gegen f(k), d. h. es gilt \begin{eqnarray}{f}^{(k)}(z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{f}_{n}^{(k)}(z),z\in D.\end{eqnarray}Ist die Reihe \(\mathop{\sum_{n=0}^{\infty}}{f}_{n}\)sogar normal konvergent in D, so gilt dies auch für die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{f}_{n}^{(k)}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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