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Lexikon der Mathematik: Weierstraß-Produkt

ein unendliches Produktder Form \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{E}_{pn}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right).\end{eqnarray} Dabei ist (pn) eine Folge in \({\mathbb{N}}\)0, (zn) eine Folge in cmit \begin{eqnarray}0\lt |{z}_{1}|\le |{z}_{2}|\le |{z}_{3}|\le \mathrm{...}|{z}_{n}|\to \infty (n\to \infty )\end{eqnarray} und Epn ein Weierstraß-Faktor. Es wird dabeinicht vorausgesetzt, daß die Zahlen zn paarweiseverschieden sind.

Solche Produkte wurden von Weierstraß eingeführt, um ganze Funktionen f mit vorgegebenen Nullstellen z1,z2,z3,... ∈ \({\mathbb{C}}\) \{0} zu konstruieren.

Falls dies nur endlich viele Nullstellen z1,…,zN sind, so hat das Polynom \begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{E}_{0}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right)\end{eqnarray} offenbar die gewünschte Eigenschaft. Bei unendlich vielen Nullstellen ist es daher naheliegend, das unendliche Produkt \begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{E}_{0}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right)\end{eqnarray} zu betrachten. Dieser Ansatz führt jedoch im allgemeinen nicht zum Ziel, da das unendliche Produkt nicht konvergieren muß. Daher werden sog. konvergenzerzeugende Faktoren der Form \begin{eqnarray}\exp \left(z+\frac{{z}^{2}}{2}+\frac{{z}^{3}}{3}+\mathrm{...}+\frac{{z}^{pn}}{pn}\right)\end{eqnarray} angefügt, wodurch ein Weierstraß-Produkt der Form (1) entsteht.

Wählt man die Folge (pn) derart, daß für jedes r > 0 die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left|\frac{r}{{z}_{n}}\right|}^{{p}_{n}+1}\end{eqnarray} konvergiert, so ist das unendliche Produkt (1) in c kompakt konvergent und stellt eine ganze Funktion dar. Zum Beispiel führt die Wahl pn := n − 1 stets zum Ziel. Es reicht sogar aus, wenn pn := [logn], wobei [x] für x ∈ \({\mathbb{R}}\) die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist, bezeichnet.

Jetzt sei speziell (zn) eine Folge derart, daß die Reihe \begin{eqnarray}{\sum }_{n}={1}^{\infty }\frac{1}{{|{z}_{n}|}^{\alpha }}\end{eqnarray} für ein α > 0 konvergiert. Dann gilt dies auch für jedes \(\mathop{\alpha }\limits^{}\gt \alpha \). Es bezeichne σ das Infimum aller \(\mathop{\alpha }\limits^{}\gt 0\), für die die Reihe (2) konvergiert. Diese Zahl heißt der Konvergenzexponent der Folge (zn). Nun wird p ∈ \({{\mathbb{N}}}_{0}\) wie folgt gewählt. Ist \(\sigma \notin {{\mathbb{N}}}_{0}\), so sei p := [σ]. Für σ ∈ \({{\mathbb{N}}}_{0}\) sei p := σ — 1 oder p := σ, je nachdem, ob die Reihe (2) für α = σ konvergiert oder divergiert. Dann ist das Weierstraß-Produkt \begin{eqnarray}p(z)\ :=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{E}_{p}\left(\frac{z}{{z}_{n}}\right)\end{eqnarray} konvergent und heißt das zu (zn) gehörige kanonische Weierstraß-Produkt. Die Zahl p nennt man auch das Geschlecht von P. Insbesondere ist also P eine ganze Funktion, und für die Wachstumsordnung ϱ von P gilt \begin{eqnarray}\varrho =\sigma \le p+1\lt \infty.\end{eqnarray}

Einige Beispiele solcher Folgen sind:

  • zn = n2 ⇒ \(\sigma =\frac{1}{2}\), p = 0,
  • zn = nσ = p = 1,
  • zn = n log2 (n + 1) ⇒ σ = 1, p = 0,
  • zn = \(\sqrt{n}\) = σ = p = 2,
  • zn = n! σ = p = 0.

Falls es ein c > 0 gibt mit |zn -zm| ≥ c für alle m, n ε n, mn, so ist die Reihe (2) für jedes α > 2 konvergent. Dann ist σ 2 und P ein Weierstraß-Produkt vom Geschlecht p ≤ 2.

Für weitere Informationen wird auf den Pro-duktsatz von Weierstraß (Weierstraß, Produkt-satz von) verwiesen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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