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Lexikon der Mathematik: Weierstraßsche ζ-Funktion

das Integral\begin{eqnarray}\zeta :=-\rho \end{eqnarray} womit dann die ζ -Funktion einfache Pole an Punkten kongruent zum Ursprung erhält.

Die Integrationskonstante ist hierbei so zu wählen, daß in einer Umgebung des Ursprungs \begin{eqnarray}\zeta (z)-{z}^{-1}\end{eqnarray} eine holomorphe Funktion ist, die für z ∈ 0 verschwindet. Im Gegensatz zu ℂ ist ζ selbst keine elliptische Funktion, ist also nicht gitterperiodisch. Es gilt vielmehr: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\zeta (z+2{w}_{1})=\zeta (z)+2\eta & \zeta (z+2{w}_{2})=\zeta (z)+2{\eta }^{^{\prime} }\\ \eta :=\zeta ({\omega }_{1}) & {\eta }^{^{\prime} }:=\zeta ({\omega }_{2})\end{array}\end{eqnarray} Dabei sind ω1 und ω2 die Perioden der -Funktion. Die Reihenentwicklung von ζ erhält man durch gliedweise Integration der Reihendarstellung von ℘: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\zeta (z)= & \frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{(m,n)\ne 0}\frac{1}{z-m{\omega }_{1}-n{\omega }_{2}}\\ & +\frac{1}{m{\omega }_{1}-n{\omega }_{2}}+\frac{z}{{(m{\omega }_{1}+n{\omega }_{2})}^{2}},\end{array}\end{eqnarray} wobei hier \begin{eqnarray}(n,m)\in {{\mathbb{Z}}}^{2}\end{eqnarray}. Aus dieser Reihendarstellung kann man z. B. sofort entnehmen, daß ζ eine ungerade Funktion von z ist.

Integriert man ζ entlang des Fundamentalbereiches, also des von 2ω1 und 2ω2 in der komplexen Ebene aufgespannten Parallelogrammes, so erhält man die Legendre-Relation \begin{eqnarray}\eta {\omega }_{2}-{\eta }^{^{\prime} }{\omega }_{1}=\frac{\pi i}{2}.\end{eqnarray}

Das Additionstheorem für die ζ -Funktion drückt die ζ-Funktion einer Summe von Argumenten

durch ζ der einzelnen Argumente und die Weier- straßsche ℘-Funktion aus: \begin{eqnarray}\zeta (u+\upsilon )=\zeta (u)+\zeta (\upsilon )+\frac{1}{2}\frac{{\wp }^{^{\prime} }(u)-{\wp }^{^{\prime} }(\upsilon )}{\wp (u)-\wp (\upsilon )},\end{eqnarray} was genaugenommen kein „Additionstheorem” im engeren Sinne ist.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Tricomi,F.: Elliptische Funktionen. Akadem. Verlagsgesellschaft Leipzig, 1948.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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