die in gewissemSinne einfachste, aber gleichzeitig auch wichtigsteelliptische Funktion.

Zur Definition sei L ⊂ ℂ ein Gitter, d. h. \begin{eqnarray}L={{\mathbb{Z}}}_{\omega 1}+{{\mathbb{Z}}}_{\omega 2}=\{{n}_{1}{\omega }_{1}+{n}_{2}{\omega }_{2}:{n}_{1},{n}_{2}\in {\mathbb{Z}}\},\end{eqnarray} wobei ω₁, ω₂ ∊ ℂ \ {0} und \begin{eqnarray}\mathrm{Im}\frac{{\omega }_{2}}{{\omega }_{1}}\gt 0.\end{eqnarray} Das Paar (ω₁, ω₂) nennt man auch eine Basis von L. Dann ist die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter L definiert durch \begin{eqnarray}\wp (z):=\frac{1}{{z}^{2}}+\displaystyle \sum _{\omega \in {L}^{^{\prime} }}[\frac{1}{{(z-\omega )}^{2}}-\frac{1}{{\omega }^{2}}],\end{eqnarray} wobei L′ := L \ {0}. Um die Abhängigkeit vom Gitter L deutlich zu machen, schreibt man auch ausführlicher ℘(z; L) oder ℘(z; ω₁, ω₂). Hierzu ist noch zu bemerken, daß eine Basis von L nicht eindeutig bestimmt ist. Zwei Paare (ω₁, ω₂) und (ω₁, ω₂) sind Basen desselben GittersL genau dann, wenn es eine Matrix A ∊ SL(2, Z) gibt mit \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}{\tilde{\omega }}_{2}\\ {\tilde{\omega }}_{1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{\omega }_{2}\\ {\omega }_{1}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Die Reihe in (1) ist eine Mittag-Leffler-Reihe und somit normal konvergent in ℂ \ L, wobei die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt. Daher ist ℘ eine meromorphe Funktion in ℂ. Die Polstellenmenge von ℘ stimmt mit L überein, und jede Polstelle von ℘ hat die Ordnung 2. Weiter besitzt ℘ die linear unabhängigen Perioden ω₁, ω₂ und ist daher eine elliptische Funktion der Ordnung 2. Im Periodenparallelogramm \begin{eqnarray}P:=\{{t}_{1}{\omega }_{1}+{t}_{2}{\omega }_{2}:{t}_{1},{t}_{2}\in [0,1]\}\end{eqnarray} besitzt ℘ also genau eine Polstelle der Ordnung 2 (und zwar an der Stelle 0) mit Residuum Res(℘, 0) = 0. Außerdem ist ℘ eine gerade Funktion, d.h. ℘(−z) = ℘(z) für z = ℂ \ L. Es gilt ℘(z) = ℘(w) genau dann, wenn \begin{eqnarray}z-w\in L\quad \text{oder}\quad z+w\in L.\end{eqnarray}

Für die Ableitung der ℘-Funktion gilt \begin{eqnarray}{\wp }^{^{\prime} }(z):=-2\displaystyle \sum _{\omega \in L}\frac{1}{{(z-\omega )}^{3}}.\end{eqnarray} Sie ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 und eine ungerade Funktion, d. h. ℘′(−z) = −p′(z) für z ∈ ℂ \L. Die Nullstellen der Ableitung der Weierstraßschen ℘-Funktion im Periodenparallelogramm P sind gegeben durch \begin{eqnarray}{\varrho }_{1}:=\frac{{\omega }_{1}}{2},{\varrho }_{2}:=\frac{{\omega }_{1}+{\omega }_{2}}{2},{\varrho }_{3}:=\frac{{\omega }_{2}}{2}.\end{eqnarray} Die Nullstellenordnung ist jeweils 1.

Eine wichtige Rolle spielen die sog. „Halbwerte” der ℘-Funktion: \begin{eqnarray}{e}_{1}:=\wp ({\varrho }_{1}),{e}_{2}:=\wp ({\varrho }_{2}),{e}_{3}:=\wp ({\varrho }_{3}).\end{eqnarray} Diese drei Werte sind paarweise verschieden, und es gilt e₁ + e₂ + e₃ = 0.

Zur Bestimmung der Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen ℘-Funktion mit Entwicklungspunkt 0 sei für n ∈ ℕ, n ≥ 3 \begin{eqnarray}{G}_{n}:=\displaystyle \sum _{\omega \in {L}^{^{\prime} }}{\omega }^{-n}.\end{eqnarray} Die Reihe ist absolut konvergent, und für ungerades n gilt G_n = 0. Hiermit erhält man \begin{eqnarray}\wp (z)=\frac{1}{{z}^{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}{z}^{2n},z\in {\dot{B}}_{r}\end{eqnarray} mit b_n := (2n + 1)G_2(n+1), wobei \begin{eqnarray}{\dot{B}}_{r}=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z|\lt r\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}r=\min \{|{\omega }_{1}|,|{\omega }_{2}|,|{\omega }_{1}+{\omega }_{2}|,|{\omega }_{1}-{\omega }_{2}|\}.\end{eqnarray} Die Laurent-Koeffizienten b_n erfüllen die Rekursionsformel \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{b}_{1}= 3{G}_{4},\quad {b}_{2}=5{G}_{6},\\ {b}_{n}= \frac{3}{(2n+3)(n-2)}\displaystyle \sum _{k=1}^{n-2}{b}_{k}{b}_{n-k-1},\quad n\ge 3.\end{array}\end{eqnarray} Man kann also b_n für n ≥ 3 als Polynom in b₁ und b₂ mit nicht-negativen rationalen Koeffizienten darstellen. Zum Beispiel gilt \begin{eqnarray}{b}_{3}=\frac{1}{3}{b}_{1}^{2},{b}_{4}=\frac{3}{11}{b}_{1}{b}_{2},{b}_{5}=\frac{1}{39}(2{b}_{1}^{3}+3{b}_{2}^{2}).\end{eqnarray} Die Differentialgleichung der Weierstraßschen ℘-Funktion lautet \begin{eqnarray}{\wp }^{^{\prime} }{(Z)}^{2}=4\wp {(Z)}^{3}-{g}_{2}\wp (z)-{g}_{3},\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{g}_{2}={g}_{2}(L):=60{G}_{4}=60\displaystyle \sum _{\omega \in {L}^{^{\prime} }}{\omega }^{-4}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{g}_{3}={g}_{3}(L):=140{G}_{6}=140\displaystyle \sum _{\omega \in {L}^{^{\prime} }}{\omega }^{-6}.\end{eqnarray} Dies ist eine algebraische Differentialgleichung, die man mit Hilfe der Halbwerte auch in der Form \begin{eqnarray}{\wp }^{^{\prime} }({z}^{2})=4(\wp (z)-{e}_{1})(\wp (z)-{e}_{2})(\wp (z)-{e}_{3})\end{eqnarray} schreiben kann.

Ist umgekehrt f eine in einem Gebiet G ⊂ ℂ nicht-konstante meromorphe Lösung der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{f}^{{\prime}^2}=4{f}^{3}-{g}_{2}f-{g}_{3},\end{eqnarray} so ist f zu einer in ℂ meromorphen Funktion fortsetzbar, und es existiert ein a ∈ ℂ mit f(z) = ℘(z + a) für alle z ∈ ℂ.

Die Zahlen g₂ und g₃ nennt man auch die Invarianten der ℘-Funktion. Setzt man \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\Delta := {g}_{2}^{3}-27{g}_{3}^{2}\\ \quad \,\,= 16{({e}_{1}-{e}_{2})}^{2}{({e}_{2}-{e}_{3})}^{2}{({e}_{3}-{e}_{1})}^{2},\end{array}\end{eqnarray} so ist Δ die Diskriminante des Polynoms \begin{eqnarray}p(t)=4{t}^{3}-{g}_{2}t-{g}_{3}=4(t-{e}_{1})(t-{e}_{2})(t-{e}_{3}).\end{eqnarray} Da e₁, e₂, e₃ paarweise verschieden sind, besitzt p nur einfache Nullstellen und daher ist Δ ≠ 0, d. h. \begin{eqnarray}{g}_{2}^{3}-27{g}_{3}^{2}\ne 0.\end{eqnarray} Die Invarianten g₂ und g₃ sind eng mit dem Umkehrproblem für die Weierstraßsche p-Funktion verknüpft:

Existiert zu g₂, g₃ ∈ ℘ mit \begin{eqnarray}{g}_{2}^{3}-27{g}_{3}^{2}\ne 0\end{eqnarray}ein Gitter L mit g₂(L) = g₂und g₃(L) = g₃?

Man kann zeigen, daß dies stets der Fall ist.

Mit Hilfe der Differentialgleichung der ℘-Funktion ist es möglich, auch die höheren Ableitungen von ℘ durch ℘ und ℘′ auszudrücken. Zum Beispiel gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}2{\wp }^{^{\prime\prime} }(z) & = & 12\wp {(z)}^{2}-{g}_{2},\\ {\wp }^{\prime\prime\prime }(z) & = & 12\wp (z){\wp }^{^{\prime} }(z),\\ {\wp }^{(4)}(z) & = & 120\wp {(z)}^{3}-18{g}_{2}\wp (z)-12{g}_{3}.\end{array}\end{eqnarray} Die Menge K(L) aller elliptischen Funktionen zu einem (festen) Gitter L ist mit der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen ein Körper, und zwar ein Unterkörper des Körpers \begin{eqnarray} {\mathcal M} ({\mathbb{C}})\end{eqnarray} aller in ℂ meromorphen Funktionen.

Mit Hilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und deren Ableitung kann K(L) genau charakterisiert werden, was im folgenden ausgeführt wird. Zunächst sei bemerkt, daß jede konstante Funktion \begin{eqnarray}z\mapsto c\end{eqnarray} in K(L) enthalten ist. Identifiziert man eine solche Funktion mit der komplexen Zahl c, so kann man ℂ als Unterkörper von K(L) auffassen.

Ist f ∈ K(L) eine gerade elliptische Funktion, deren Polstellenmenge in L enthalten ist, so existiert genau ein Polynom \begin{eqnarray}P(X)\in {\mathbb{C}}[X]\,mit\,f=P(\wp )\end{eqnarray}. Die Menge aller solcher elliptischen Funktionen bildet einen Integritätsring, der mit dem durch Ringadjunktion von ℘ an den Körper ℂ entstehenden Ring \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}[\wp]\end{eqnarray} übereinstimmt. Da ℘ transzendent über ℂ ist (d. h., es existiert kein nicht-triviales Polynom \begin{eqnarray}P(X)\in {\mathbb{C}}[X]\,{\rm{mit}}\,P(\wp )=0)\end{eqnarray} = 0), ist \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}[\wp ]\end{eqnarray} isomorph zum Polynomring ℂ[X] in einer Unbestimmten X über ℂ.

Betrachtet man allgemeiner den Ring ℂ[℘, ℘′], so folgt aus der Differentialgleichung der ℘-Funktion \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}[\wp ,{\wp }^{^{\prime} }]={\mathbb{C}}[\wp ]+{\wp }^{^{\prime} }{\mathbb{C}}[\wp ],\end{eqnarray} und man kann zeigen, daß dieser Ring mit dem Ring aller elliptischen Funktionen, deren Polstellenmenge in L liegt, übereinstimmt.

Ist nun f ∈ K(L) eine beliebige gerade elliptischeFunktion, so existiert genau eine rationale Funk-tion R(X) ∈ ℂ(X) mit f = R(℘). Die Menge allergeraden elliptischen Funktionen ist ein Körper, dermit dem Quotientenkörper ℂ(℘) von ℂ[℘] überein-stimmt. Weiter ist ℂ(℘) isomorph zum Körper ℂ(X)aller rationalen Funktionen in X. Man beachte, daß ℂ(X) der Quotientenkörper von \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}[X]\end{eqnarray} ist.

Schließlich sei \begin{eqnarray}f\in K(L)\end{eqnarray} eine beliebige ellipti-sche Funktion. Dann existieren rationale Funktio-nen \begin{eqnarray}R(X),S(X)\in {\mathbb{C}}(X)\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}f=R(\wp )+{\wp }^{^{\prime} }S(\wp ).\end{eqnarray} Daher ist K(L) der Quotientenkörper des Inte-gritätsrings ℂ[℘, ℘′], und \begin{eqnarray}K(L)={\mathbb{C}}(\wp )({\wp }^{^{\prime} })={\mathbb{C}}(\wp )+{\wp }^{^{\prime} }{\mathbb{C}}(\wp ).\end{eqnarray} Es ist also K(L) eine einfache algebraische Kör-pererweiterung vom Grad 2 von ℂ(℘), und das Mi-nimalpolynom \begin{eqnarray}P(Y)\in {\mathbb{C}}(\wp )|Y|\end{eqnarray} von ℘′ ist gegeben durch \begin{eqnarray}P(Y)={Y}^{2}-4{\wp }^{3}+{g}_{2}\wp +{g}_{3}.\end{eqnarray}

Man kann dies auch wie folgt ausdrücken. Es ist K(L) isomorph zum Körper \begin{eqnarray}{\mathbb{C}}(X)[Y]/({Y}^{2}-{4}^{3}+{g}_{2}X+{g}_{3}).\end{eqnarray} Es wird also der Polynomring ℂ(X)[Y] in der Unbe-stimmten Y über dem Körper ℂ(X) betrachtet unddann der Faktorring nach dem quadratischen Polynom \begin{eqnarray}P(Y)={Y}^{2}-4{X}^{3}+{g}_{2}X+{g}_{3}\in {\mathbb{C}}(X)[Y]\end{eqnarray} gebildet.

Aus diesen Eigenschaften des Körpers K(L) erhältman insbesondere, daß je zwei Funktionen f, g ∈ K(L) algebraisch abhängig sind, d. h. es existiert einnicht-triviales Polynom P(X, Y) ∈ ℂ[X, Y] in zwei Unbestimmten X, Y mit P(f, g) = 0.

Sind L und L′ zwei Gitter, so sind die zugehörigenKörper K(L) und K(L′) stets isomorph.

Für jedes w ∈ ℂ ist die durch f(z) := ℘(z + w) definierte Funktion f eine elliptische Funktion undmuß sich daher durch ℘ und ℘′ ausdrücken lassen.Dies leistet das Additionstheorem der Weierstraß-schen ℘-Funktion, welches \begin{eqnarray}\wp (z+w)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{^{\prime} }(z)-{\wp }^{^{\prime} }(w)}{\wp (z)-\wp (w)}\right)}^{2}-\wp (z)-\wp (w)\end{eqnarray} lautet. Dabei sind z, w ∈ ℂ L mit z + w, z − w ∉ L. Man kann das Additionstheorem auch in der Form \begin{eqnarray}\det \left(\begin{array}{rcc}1 & \wp (z+w) & -{\wp }^{^{\prime} }(z+w)\\ 1 & \wp (z) & {\wp }^{^{\prime} }(z)\\ 1 & \wp (w) & {\wp }^{^{\prime} }(w)\end{array}\right)=0\end{eqnarray} schreiben.

Der Grenzübergang w → z im Additionstheorem liefert die Verdopplungsformel der Weierstraßschen ℘-Funktion \begin{eqnarray}\wp (2z)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{^{\prime\prime} }(z)}{{\wp }^{^{\prime} }(z)}\right)}^{2}-2\wp (z),\end{eqnarray} wobei z ∈ ℂ \L und 2z ∈ L. Mit Hilfe der Differentialgleichung der ℘-Funktion kann man diese Formel umschreiben in \begin{eqnarray}\wp (2z)=\frac{1}{16}\frac{{(4\wp {(z)}^{2}+{g}_{2})}^{2}+8{g}_{3}\wp (z)}{4\wp {(z)}^{3}-{g}_{2}\wp (z)-{g}_{3}}.\end{eqnarray}

Allgemeiner ist es möglich, ℘(nz) für n ∈ ℕ durch ℘(z) und deren Ableitungen darzustellen. Dies ist das Multiplikationstheorem der Weierstraßschen ℘-Funktion. Dazu betrachtet man für n ≥ 2 die (n − 1)-reihige Determinante \begin{eqnarray}{D}_{n}(z):=\left|\begin{array}{cccc}{\wp }^{^{\prime} }(z) & {\wp }^{^{\prime\prime} }(z) & \cdots & {\wp }^{(n-1)}(z)\\ {\wp }^{^{\prime\prime} }(z) & {\wp }^{\prime\prime\prime }(z) & \cdots & {\wp }^{(n)}(z)\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\wp }^{(n-1)}(z) & {\wp }^{(n)}(z) & \cdots & {\wp }^{(2n-3)}(z)\end{array}\right|\end{eqnarray} und setzt \begin{eqnarray}{\psi }_{n}(z):=\frac{{(-1)}^{n-1}}{{(2!\cdot 3!\cdot 4!\cdots (n-1)!)}^{2}}{D}_{n}(z).\end{eqnarray} Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\wp (nz) & = & \wp (z)-\frac{{\psi }_{n-1}(z){\psi }_{n+1}(z)}{{({\psi }_{n}(z))}^{2}}\\ & = & \wp (z)-\frac{1}{{n}^{2}}\frac{d}{dz}\frac{{{\psi }^{^{\prime} }}_{n}(z)}{{\psi }_{n}(z)}.\end{array}\end{eqnarray}

Nun wird speziell ein Rechteckgitter L betrachtet, d. h. ω₁ > 0 und \begin{eqnarray}{\omega }_{2}=i{{\omega }^{^{\prime} }}_{2}\,\text{mit}\,{{\omega }^{^{\prime} }}_{2}\gt 0\end{eqnarray}. Dann ist ℘(x) ∈ ℝ für alle x ∈ ℝ \ L. Ebenso sind die Invarianten g₂ und g₃ reelle Zahlen. Weiter ist ℘ auf dem Rand des abgeschlossenen Rechtecks Q mit den Ecken 0, ϱ₁, ϱ₃, ϱ₂ reellwertig und bildet Q bijektiv auf die abgeschlossene untere Halbebene \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}:\text{Im}z\le 0\}\cup \{\infty \}\end{eqnarray} ab. Insbesondere sind e₁, e₂, e₃ reell und e₁ > e₂ > e₃. Ist L speziell ein Quadratgitter, d.h. \begin{eqnarray}{{\omega }^{^{\prime} }}_{2}={\omega }_{1}\end{eqnarray}, so gilt e₂ ∈ 0 und e₃ ∈ —e₁.

Auf dem Intervall (0, ϱ₁] ist ℂ eine streng monoton fallende Funktion, und die Bildmenge ist die Halbgerade [\begin{eqnarray}[e1,\infty )\end{eqnarray}). Daher besitzt ℘ eine auf \begin{eqnarray}[e1,\infty )\end{eqnarray}) definierte und streng monoton fallende Umkehrfunktion E. Für \begin{eqnarray}u\in (e1,\infty )\end{eqnarray}) gilt \begin{eqnarray}4{u}^{3}-g2u-g3\end{eqnarray} 0 und \begin{eqnarray}{E}^{^{\prime} }(u)=\underset{u}{\overset{\infty }{\displaystyle \int }}\frac{dt}{\sqrt{4{t}^{3}-{g}_{2}t-{g}_{3}}}\end{eqnarray} d. h. es ist \begin{eqnarray}E(u)=\displaystyle \underset{u}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dt}{\sqrt{4{t}^{3}-{g}_{2}t-{g}_{3}}}\end{eqnarray} ein elliptisches Integral. Anders ausgedrückt bedeutet dies, daß das elliptische Integral E eine auf dem Intervall (0, ϱ₁) definierte Umkehrfunktion besitzt, die sich in die komplexe Ebene zu einer elliptischen Funktion fortsetzen läßt, und diese ist gerade die Weierstraßsche ℘-Funktion.

Betrachtet man speziell das Rechteckgitter L mit ω₁ = 1 und setzt τ := ω₂, so sind die Invarianten \begin{eqnarray}{}^{g2=g2(\tau )undg3=g3(\tau )}\end{eqnarray}) Funktionen von τ, und zwar holomorphe Funktionen in der oberen Halbebene \begin{eqnarray}{}^{H=\{z\in {\mathbb{C}}:Imz\gt 0\})}\end{eqnarray} 0}. Dies gilt ebenfalls für die Diskriminante \begin{eqnarray}\Delta (\tau )={g}_{2}{(\tau )}^{3}-27{g}_{3}{(\tau )}^{2}\end{eqnarray} und die Halbwerte \begin{eqnarray}{e}^{1}(\tau ),{e}^{2}(\tau )\end{eqnarray}and \[^{e3(\tau )}\] . Mit diesen Bezeichnungen besteht ein enger Zusammenhang mit den Modulfunktionen 𝜆 und J, es gilt nämlich \begin{eqnarray}\lambda (\tau )=\frac{{e}_{2}(\tau )-{e}_{3}(\tau )}{{e}_{1}(\tau )-{e}_{3}(\tau )}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}J(\tau )=\frac{{g}_{2}^{3}(\tau )}{\Delta (\tau )}.\end{eqnarray}

Vgl. auch Weierstraßsche 𝜎 -Funktion.

[1] Chandrasekharan, K.: Elliptic Functions. Springer-Verlag Berlin, 1985.
[2] Fischer, W.; Lieb, I.: Funktionentheorie. Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig, 1981.
[3] Freitag, E.; Busam, R.: Funktionentheorie. Springer-Verlag Berlin, 1993.
[4] Tricomi, F.; Krafft, M.: Elliptische Funktionen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig, 1948.