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Lexikon der Mathematik: Weierstraßsche Parametrisierung der Kreislinie

eine „rationale Parametrisierung” der Einheits-kreislinie \begin{eqnarray}{\mathbb{T}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|=1\},\end{eqnarray} die von Weierstraß (1841) stammt. Sie lautet \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}z=z(t):=\frac{1+it}{1-it}, & -\infty \lt t\lt +\infty .\end{array}\end{eqnarray} Geometrisch kann z(t) wie folgt beschrieben wer-den. Ist Γ die durch −1 gehende Gerade mit der Steigung i, so ist z(i) der zweite Schnittpunkt von Γ mit \begin{eqnarray}{\mathbb{T}}\end{eqnarray}.

Weierstraß benutzte diese Parametrisierung zur Berechnung des Wegintegrals \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{{d}_{z}}{z}.\end{eqnarray} Es gilt \begin{eqnarray}{z}^{^{\prime} }(t)=\frac{2i}{{(1-it)}^{2}},\frac{{z}^{^{\prime} }(t)}{z(t)}=\frac{2i}{1+{t}^{2}},\end{eqnarray} und hieraus folgt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{{d}_{z}}{z}=2i\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=2\pi i.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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