beschreibt den Zusammenhang zwischen der Existenz einer relativ invarianten Linearform auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf der Menge der Linksrestklassen in einer lokalkompakten topo-logischen Gruppe, der Existenz eines relativ invarianten Radonmaßes auf der Borelschen σ-Algebra dieser Gruppe und einem funktionalen Zusammenhang der zugehörigen modularen Funktion.

Es sei G eine lokalkompakte (Hausdorffsche) to-pologische Gruppe (multiplikativ geschrieben), H eine abgeschlossene Untergruppe von G, G/H die Menge aller Linksrestklassen, versehen mit der Quotiententopologie, und R bzw. L die Rechtstranslation bzw. Linkstranslation auf G. Ist I_G bzw I_H eine (nicht-triviale) linksinvariante positive Linearform auf dem Raum C_c(G) bzw. C_c(H) der stetigen Funktion mit kompaktem Träger auf G bzw. H, so gibt es eine Funktion Δ_G : G → (0, ∞) bzw. Δ_H : H → (0, ∞) mit I_G(f ∘ R(a)) = Δ_G(a)I_G(f) für alle f ℂ C_c(G), a ℂ G, bzw. I_G(f ∘ R(a)) = Δ_H(a)I_H(f) für alle f ∈ C_c(H), a ∈ G.

Diese Funktionen heißen modulare Funktionen auf G bzw. H und sind stetige Homomorphismen in die multiplikative Gruppe (0, ∞). Eine (nichttriviale) positive Linearform I_G/H : C_c(G/H) → (0, ∞) heißt relativ invariant, wenn eine Funktion Δ : G → (0, ∞) so existiert, daß I_G/H(f ∘ L(a)) = Δ(a)I_G/H(f) für alle f ∈ C_c(G/H), a ∈ G. Sie heißt dann modulare Funktion von I_G/H und ist ein stetiger Homomorphismus. Nach dem Darstellungssatz von Riesz (↗ Riesz, Darstellungssatz von) existiert zu dieser Linearform I_G/H genau ein Radon-Maß μ_G/H auf B(G/H), für das gilt:

\begin{eqnarray}L\left( a \right)\left( \mu \right)=\Delta \left( a \right)\mu \quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\quad\text{alle}\,\,{a}\in {G,}\end{eqnarray}

und das man relativ invariantes Radon-Maß nennt.

Der Satz von Weil besagt nun, daß, wenn Δ : G → (0, ∞) ein stetiger Homomorphismus ist, genau dann eine (nicht-triviale) positive relativ invariante Linearform I_G/H auf C_c(G/H) mit modularer Funktion Δ existiert, wenn

\begin{eqnarray}{{\Delta }_{H}}(a)=\Delta (a){{\Delta }_{G}}(a)\quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\quad\text{alle}\,\,a\in H\end{eqnarray}

ist. I_G/H ist dann bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt, und desgleichen existiert ein relativ invariantes Radon-Maß auf ℬ(G/H), eindeutig bis auf einen positiven Faktor.

Weiter gilt unter obigen Voraussetzungen und bei geeigneter Normierung von μ_G/H die Weilsche Integralformel

\begin{eqnarray}\int\limits_{G/H} {\int\limits_H {f\left( {st} \right)d{\mu _H}\left( f \right)d{\mu _{G/H}}\left( {sH} \right) = \int\limits_G {f/\Delta d{\mu _G}} } } \end{eqnarray}

für alle f ∈ C_c(G), wobei μ_G bzw. μ_H die nach dem Darstellungssatz von Riesz eindeutig bestimmten Radon-Maße zu den linksinvarianten Linearformen I_G bzw. I_H sind.