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Lexikon der Mathematik: Weilsche Integralformel

beschreibt den Zusammenhang zwischen der Existenz einer relativ invarianten Linearform auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf der Menge der Linksrestklassen in einer lokalkompakten topo-logischen Gruppe, der Existenz eines relativ invarianten Radonmaßes auf der Borelschen σ-Algebra dieser Gruppe und einem funktionalen Zusammenhang der zugehörigen modularen Funktion.

Es sei G eine lokalkompakte (Hausdorffsche) to-pologische Gruppe (multiplikativ geschrieben), H eine abgeschlossene Untergruppe von G, G/H die Menge aller Linksrestklassen, versehen mit der Quotiententopologie, und R bzw. L die Rechtstranslation bzw. Linkstranslation auf G. Ist IG bzw IH eine (nicht-triviale) linksinvariante positive Linearform auf dem Raum Cc(G) bzw. Cc(H) der stetigen Funktion mit kompaktem Träger auf G bzw. H, so gibt es eine Funktion ΔG : G → (0, ∞) bzw. ΔH : H → (0, ∞) mit IG(fR(a)) = ΔG(a)IG(f) für alle fCc(G), aG, bzw. IG(fR(a)) = ΔH(a)IH(f) für alle fCc(H), aG.

Diese Funktionen heißen modulare Funktionen auf G bzw. H und sind stetige Homomorphismen in die multiplikative Gruppe (0, ∞). Eine (nichttriviale) positive Linearform IG/H : Cc(G/H) → (0, ∞) heißt relativ invariant, wenn eine Funktion Δ : G → (0, ∞) so existiert, daß IG/H(fL(a)) = Δ(a)IG/H(f) für alle fCc(G/H), aG. Sie heißt dann modulare Funktion von IG/H und ist ein stetiger Homomorphismus. Nach dem Darstellungssatz von Riesz (↗ Riesz, Darstellungssatz von) existiert zu dieser Linearform IG/H genau ein Radon-Maß μG/H auf B(G/H), für das gilt:

\begin{eqnarray}L\left( a \right)\left( \mu \right)=\Delta \left( a \right)\mu \quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\quad\text{alle}\,\,{a}\in {G,}\end{eqnarray}

und das man relativ invariantes Radon-Maß nennt.

Der Satz von Weil besagt nun, daß, wenn Δ : G → (0, ∞) ein stetiger Homomorphismus ist, genau dann eine (nicht-triviale) positive relativ invariante Linearform IG/H auf Cc(G/H) mit modularer Funktion Δ existiert, wenn

\begin{eqnarray}{{\Delta }_{H}}(a)=\Delta (a){{\Delta }_{G}}(a)\quad{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\quad\text{alle}\,\,a\in H\end{eqnarray}

ist. IG/H ist dann bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt, und desgleichen existiert ein relativ invariantes Radon-Maß auf (G/H), eindeutig bis auf einen positiven Faktor.

Weiter gilt unter obigen Voraussetzungen und bei geeigneter Normierung von μG/H die Weilsche Integralformel

\begin{eqnarray}\int\limits_{G/H} {\int\limits_H {f\left( {st} \right)d{\mu _H}\left( f \right)d{\mu _{G/H}}\left( {sH} \right) = \int\limits_G {f/\Delta d{\mu _G}} } } \end{eqnarray}

für alle fCc(G), wobei μG bzw. μH die nach dem Darstellungssatz von Riesz eindeutig bestimmten Radon-Maße zu den linksinvarianten Linearformen IG bzw. IH sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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