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Lexikon der Mathematik: Weingartenabbildung

lineare Abbildung S der Tangentialebene TP() einer Fläche ⊂ ℝ3 in sich, die einem Vektor 𝔳 ∈ TP() das negative

\begin{eqnarray}s\left( \mathfrak{v} \right)=-{{D}_{\mathfrak{v}}}_{\mathfrak{n}}\end{eqnarray}

der Richtungsableitung des Einheitsnormalenvektors \({\mathfrak{n}}\) von ℱ zuordnet.

Da \({\mathfrak{n}}\) die Länge 1 hat, steht \({{D}_{\mathfrak{v}}}\mathfrak{n}\) auf \({\mathfrak{n}}\) senkrecht und gehört somit zu TP(). S ist selbstadjungiert in bezug auf die ↗erste Gaußsche Fundamentalform, d. h., es gilt

\begin{eqnarray}\left\langle s\left( \mathfrak{v} \right),\,\mathfrak{w} \right\rangle \,=\,\left\langle \mathfrak{v},s\left( \mathfrak{w} \right) \right\rangle \end{eqnarray}

für alle \(\mathfrak{v},\,\mathfrak{w}\in {{T}_{P}}\left( \mathcal{F} \right)\). Ist Φ(u1, u2) eine Parameterdarstellung von , so ist die Matrix von S bezüglich der Basis Φi = Φ/∂ui (i = 1, 2) von TP() durch die Ableitungsgleichung von Weingarten (↗Weingarten, Ableitungsgleichung von) gegeben.

Die Weingartenabbildung wird in analoger Weise auch für ↗Riemannsche Untermannigfaltigkeiten NnMm ↗Riemannscher Mannigfaltigkeiten Mn definiert. Ist g der ↗metrischen Fundamentaltensor, ∇ der ↗Levi-Civita-Zusammenhang von Mm, und \({\mathfrak{n}}\) ein Normalenvektorfeld auf Nn der Länge 1, d. h., eine differenzierbare Abbildung, die jedem Punkt xNn einen Tangentialvektor n(x) ∈ Tx(Mm) des umgebenden Raumes Tx(Mm) ∂ Tx(Nn) mit g(\({\mathfrak{n}}\)(x), \({\mathfrak{n}}\)(x)) = 1 zuordnet, der auf Tx(Nn) senkrecht steht, so ist für jeden Tangential- vektor oxTx(Nn) die kovariante Ableitung \({{\nabla }_{{{\mathfrak{v}}_{x}}}}\) als Element von Tx(Nn) definiert. Die Zuordnung

\begin{eqnarray}{{s}_{n}}:\mathfrak{v}\in {{T}_{x}}\left( {{N}^{n}} \right)\to -{{\nabla }_{\mathfrak{v}}}_{x}\in {{T}_{x}}\left( {{N}^{n}} \right)\end{eqnarray}

ist eine lineare Abbildung von Tx(Nn) in sich, die Weingartenabbildung von Nn, die hiervon der Wahl des Normalenvektorfeldes n abhängt.

Wenn m = n + 1 gilt und Nn orientierbar ist, gibt es genau zwei Möglichkeiten für die Wahl des Normaleneinheitsvektors \({\mathfrak{n}}\), die entgegengesetzte Richtung haben. \({{S}_{\mathfrak{n}}}\) ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt und im wesentlichen von der Wahl eines Normalenvektorfeldes unabhängig.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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