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Lexikon der Mathematik: Weissinger, Fixpunktsatz von

lautet:

Es seien \(\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\)an eine konvergente Reihe aus nichtnegativen Summanden, M ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik d, X eine nicht leere abgeschlossene Teilmenge von M und T : XX eine Abbildung mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}d({{T}^{n}}(x),{{T}^{n}}(y))\le {{a}_{n}}\cdot d(x,y)\end{eqnarray}

für alle x, yX, n ∈ ℕ, wobei unter Tn die n-te Iterierte von T verstanden wird.

Dann besitzt T genau einen Fixpunkt \(\bar{x}\)in X, dieser Fixpunkt ist Grenzwert der Iterationsfolge Tn(x0) bei einem beliebigen Startpunkt x0, und es gilt die Abschätzung

\begin{eqnarray}d(\overline{x},{{T}^{n}}({{x}_{0}}))\le \left( \sum\limits_{i=n}^{\infty }{{{a}_{i}}} \right)\cdot d(T({{x}_{0}}),{{x}_{0}})\cdot \end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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