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Lexikon der Mathematik: Wellen-Front-Menge

wie folgt definierte Menge:

Sei X ⊂ ℝN eine offene Menge und u eine auf X definierte Distribution (↗ verallgemeinerte Funktion). Die Wellen-Front-Menge WF(u) ist definiert als das Komplement in X × (ℝN \ 0) derjenigen Punkte (x0, ξ0) ∈ X × (ℝN \ 0), für die Umgebungen U von x0 und V von ξ0 so existieren, daß

\begin{eqnarray}\left\langle u,\phi \exp (-i\tau x\cdot \xi ) \right\rangle =O({{\tau }^{-N}})\quad\tau \to \infty \end{eqnarray}

uniform in ξ für alle \(\phi \in C_{0}^{\infty }\left( U \right)\) und alle N > 0 ist. Die Wellen-Front-Menge ist “kegelförmig” in dem Sinne, daß sie invariant unter der Multiplikation der zweiten Variablen mit einem positiven Skalar ist.

Für Distributionen auf einer Mannigfaltigkeit X stellt die Wellen-Front-Menge eine Teilmenge des ↗ Kotangentialbündels T*X \ {0} ohne den NullSchnitt dar.

Ist WF(u) = ø, so ist u glatt, die Projektion π der Wellen-Front-Menge auf die erste Komponente ist der singuläre Träger sing suppu der Distribution u. Falls x0π(WF(U)), so ist u in jeder Umgebung von x0 nicht glatt. Somit ist die Wellen-FrontMenge eine Obstruktion für uC.

Auf ähnliche Weise läßt sich die analytische Wellen-Front-Menge als die Obstruktion der reellen Analytizität definieren: Sei χ eine C -Funktion mit kompaktem Träger um x0, die um x0 lokal reell analytisch und ungleich Null ist. Die Menge \({{\Sigma }_{\chi }}\) ist dann definiert als das Komplement derjenigen Teilmenge von ℝN \ 0, die aus allen η besteht, für die es eine kegelförmige Umgebung U von η und Konstanten α,, γ0 und CN so gibt, daß

\begin{eqnarray}\bigcup\limits_{x\in X}{\{x\}}\times \sum\nolimits_{x}{(u).}\end{eqnarray}

Eine wichtige Eigenschaft der Wellen-FrontMenge ist ihr Verhalten unter der Wirkung eines Differentialoperators:

Sei p(x, D) ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung m, und sei ferner p(x, D)u = f. Dann gilt

\begin{eqnarray}WF(f)\subset WF(u)\subset p_{m}^{-1}(0),\end{eqnarray}

wobei pm(x, ξ) das Hauptsymbol (↗Pseudodiffe- rentialoperator) von p(x, D) ist.

[1] Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV. Springer-Verlag Heidelberg, 1985.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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