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Lexikon der Mathematik: Wendelfläche

eine Fläche \({\mathcal{H}}\) ⊂ ℝ3, die von einer Geraden g ⊂ ℝ3 überstrichen wird, wenn sich ein fester Punkt Pg mit konstanter Geschwindigkeit längs einer zweiten, zu g senkrechten Geraden g1 bewegt, und g sich dabei in der zu g1 senkrechten Ebene mit ebenfalls konstanter Geschwindigkeit um P dreht.

Die Wendelfläche wird auch Helicoid genannt. Gemäß dieser anschaulichen Beschreibung durch eine Schraubbewegung ist \({\mathcal{H}}\) eine Regelfläche.

Zur parametrischen Darstellung von \({\mathcal{H}}\) wählt man für g die x- und für g1 die z-Achse, und erhält \begin{eqnarray}\Phi (u,v)=v\left(\begin{array}{c}\cos (a\,u)\\ \sin (a\,u)\\ 0\end{array}\right)+b\,u\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\end{eqnarray}

wobei a und b reelle Zahlen sind, die die Geschwindigkeiten der Dreh- bzw. Translationsbewegung bestimmen.

\({\mathcal{H}}\) ist eine Minimalfläche. Nimmt man a = b an und ersetzt den Parameter v durch sinh(a v), so erhält man die konforme Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{\Phi}_{\text{konform}}(u,v)=\left(\begin{array}{c}\sinh (a\,v)\cos (a\,u)\\ \sinh (a\,v)\sin (a\,u)\\ a\,u\end{array}\right)\end{eqnarray}

von \({\mathcal{H}}\) mit der ersten Fundamentalform \begin{eqnarray}I={a}^{2}{\cosh}^{2}(a\,v)I,\end{eqnarray}

wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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