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Lexikon der Mathematik: Werteverteilung holomorpher Funktionen

untersucht den Wertebereich f(G) einer in einem Gebiet G ⊂ ℂ holomorphen Funktion f.

Eine erste einfache Aussage liefert der Satz über die Gebietstreue, der besagt, daß f(G) ein Gebiet ist, sofern f keine konstante Funktion ist.

Unter zusätzlichen Voraussetzungen an G oder f ist es möglich, Aussagen über die „Größe“ von f(G) zu machen. Hierzu sei z. B. auf die Sätze von Ahlfors und Bloch, den Koebeschen 1/4-Satz und die Landauschen Weltkonstanten verwiesen.

Es werden noch einige weitere Ergebnisse in diesem Kontext angegeben. Dazu sei \({\mathcal{T}}\) die Klasse aller in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} holomorphen Funktionen mit f (0) = 0 und f′ (0) = 1. Für p ∈ ℕ sei \({\mathcal{T}}\)p die Klasse aller Funktionen f ∈ \({\mathcal{T}}\), die in 𝔼 höchstens p Nullstellen besitzen.

Ein Satz von Fekete besagt, daß eine nur von p abhängige Zahl rp > 0 existiert derart, daß für jedes f ∈ \({\mathcal{T}}\)p das Bildgebiet f (𝔼) die offene Kreisscheibe Brp mit Mittelpunkt 0 und Radius rp enthält. Über die genaue Größe von rp ist wenig bekannt. Jedenfalls gilt rp+1rp, und Carathéodory hat gezeigt, daß \({r}_{1}=\frac{1}{16}\). Es existiert jedoch keine feste Konstante r > 0, derart daß f (𝔼) ⊃ Br für alle f ∈ \({\mathcal{T}}\). Betrachtet man nämlich die Funktionenfolge (fn) in \({\mathcal{T}}\) mit \begin{eqnarray}{f}_{n}(z)=\frac{1}{n}({e}^{nz}-1),\end{eqnarray}

so gilt \(-\frac{1}{n}\notin f({\mathbb{E}})\).

Andererseits hat Valiron gezeigt, daß es zu jedem α ∈ (0,2π) eine nur von α abhängige Zahl ϱα > 0 gibt derart, daß für jedes f ∈ \({\mathcal{T}}\) das Bildgebiet f (𝔼) einen offenen Kreissektor mit Spitze in 0, Öffnungswinkel α und Radius ϱα enthält.

Weiterhin kann man fragen, wie häufig die Funktion f einen Wert af(G) annimmt. Hierüber geben z. B. der kleine und große Satz von Picard und der Satz von Julia Auskunft. Noch präzisere Aussagen speziell über ganz transzendente Funktionen liefert die Nevanlinna-Theorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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