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Lexikon der Mathematik: Wiener-Maß

spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß. Es sei C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)) die Menge der stetigen Funktionen f : \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) → ℝ versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen, welche von der Metrik d mit \begin{eqnarray}d(f,g):=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{{2}^{n}}\mathop{\max}\limits_{0\le t\le n}\min (|f(t)-g(t)|,1)\end{eqnarray}

für alle f, gC(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)) induziert wird. Auf der Borelschen σ-Algebra \({\mathfrak{B}}\)(C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\))) existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß W mit der Eigenschaft, daß der auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)), \({\mathfrak{B}}\)(C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\))), W) definierte stochastische Prozeß (Wt)t≥0, wobei die Zufallsvariable Wt für jedes t ∈ \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) durch Wt (ω) = ω(t) für alle ωC(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)) gegeben ist, eine normale eindimensionale Brownsche Bewegung ist. Das Wahrscheinlichkeitsmaß W heißt Wiener-Maß auf C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)), und der Wahrscheinlichkeitsraum (C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)), \({\mathfrak{B}}\)(C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\))), W) Wiener-Raum.

Für die Menge der stetigen Funktionen f : \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) → ℝn kann in analoger Weise das n-dimensionale Wiener-Maß definiert werden, wobei lediglich in der Definition der Metrik d der Betrag durch den Euklidischen Abstand zu ersetzen ist, und es sich bei dem (Wt)t≥0 entsprechenden Prozeß um eine normale n-dimensionale Brownsche Bewegung handelt. Die σ-Algebra \({\mathfrak{B}}\)(C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\))) ist die Spur-σ- Algebra der Produkt-σ-Algebra \({\mathfrak{B}}{({\mathbb{R}})}^{{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}}\) in C(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)). Betrachtet man die Menge C([0,1]) der auf dem Intervall [0,1] definierten reellen Funktionen versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz, so heißt das auf \({\mathfrak{B}}\)(C([0,1])) definierte Bildmaß von W unter der Abbildung, welche jedem fC(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\)) die Restriktion f |[0,1]C([0,1]) zuordnet, das Wiener-Maß auf C([0,1]).

[1] Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie (4. Aufl.). De Gruyter Berlin, 1991.
[2] Karatzas, I.; Shreve, S. E.: Brownian motion and stochastic calculus (2. Aufl.). Springer New York, 1991.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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