Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Wilcoxon-Test

auch als Rang-Vorzeichen-Test bezeichneter nichtparametrischer (nichtparametrische Statistik) Signifikanztest zum Vergleich der Verteilungen zweier abhängiger Stichproben.

Er wird angewendet, wenn die Daten nicht normalverteilt sind und mindestens auf ordinalem Skalenniveau (Skalentypen) vorliegen. (Im Falle der Normalverteilung wird der t-Test angewendet). Der Wilcoxon-Test erfordert, verglichen mit dem t-Test, wesentlich weniger Rechenaufwand, testet normalverteilte Differenzen aber fast ebenso scharf; seine asymptotische Wirksamkeit (Testtheorie) liegt bei 95 Prozent.

Seien X1 und X2 zwei Zufallsgrößen mit den unbekannten Verteilungsfunktionen F1(x)bzw. F2(x), x ∈ ℝ. X1 und X2 werden an den gleichen n Objekten beobachtet. Seien \({\overrightarrow{X}}_{1}\) = (X11,…,X1n) und \({\overrightarrow{X}}_{2}\) = (X21,…,X2n) die jeweiligen Beobachtungen. Der Wilcoxon-Test ist analog zum U-Test ein Test zum Prüfen ein- und zweiseitiger Hypothesen über die Gleichheit der Verteilungsfunktionen von X1 und X2 ; im zweiseitigen Fall lauten sie: \begin{eqnarray}{H}_{0}:{F}_{1}(x)={F}_{2}(x)\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\ x\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

gegen \begin{eqnarray}{H}_{1}:\text{es existiert ein}\,x\in {\mathbb{R}}\,\text{mit}\,{F}_{1}(x)\ne {F}_{2}(x).\end{eqnarray}

Hierin eingeschlossen sind Hypothesen über die Gleichheit der Erwartungswerte von EX1 und EX2 : \begin{eqnarray}{H}_{0}:E{X}_{1}=E{X}_{2}\,\,\text{gegen}\,\,{H}_{1}:E{X}_{1}\ne E{X}_{2}\end{eqnarray}

Zur Berechnung der Teststatistik dieses Tests bildet man die Differenzen di = Xi1Xi2 der Wertepaare und bringt deren absolute Beträge |di | in eine ansteigende Rangordnung, d. h., weist den Beträgen |di | ihre Rangplatzzahl (geordnete Stichprobe) zu. Dabei werden nur Beträge mit |di | > 0 berücksichtigt. Bei jeder Rangzahl wird vermerkt, ob die zugehörige Differenz ein positives oder ein negatives Vorzeichen aufweist. Man bildet dann die Summe der positiven und negativen Rangzahlen Rpos und Rneg. Es muß gelten: \begin{eqnarray}{R}_{pos}+{R}_{neg}=\frac{n(n+1)}{2}.\end{eqnarray}

Die Testgröße des Wilcoxon-Tests ist \begin{eqnarray}T=R=\min ({R}_{pos},{R}_{neg}).\end{eqnarray}

T besitzt eine sogenannte R-Verteilung mit dem Parameter n. H0 wird abgelehnt (im zweiseitigen Fall), falls gilt: \begin{eqnarray}T\le R(n,\frac{\alpha}{2}),\end{eqnarray}

wobei der kritische Wert R(n, p) des Tests aus statistischen Tabellen zu entnehmen ist. Für n ≥ 25 kann eine Approximation durch die Normalverteilung erfolgen. Anstelle von T verwendet man die Teststatistik \begin{eqnarray}\tilde{T}=\frac{\frac{n(n+1)}{4}-T}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}},\end{eqnarray}

die approximativ standardnormalverteilt ist. Die Entscheidungsregel lautet in diesem Fall \begin{eqnarray}|\tilde{T}|\gt {z}_{1}-{\scriptstyle \frac{\alpha}{2}}\to {H}_{0}\,\text{wird abgelehnt}\text{.}\end{eqnarray}

zp ist das p−Quantil der Standardnormalverteilung.

Ein Beispiel. Ein Chemiker soll zwei für die Bestimmung von Testosteron im Urin eingesetzte Methoden A und B anhand von 10 Urinproben bei zweiseitiger Fragestellung bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art von α = 0,1 vergleichen. Die Nullhypothese H0 besagt also, daß es keine Unterschiede zwischen beiden Methoden gibt. Es sind folgende Werte (in mg pro 24 Stunden-Urin) gemessen worden:

Damit erhält man T = min(Rmin, Rpos) = 18. Aus einer Tabelle entnehmen wir bei zweiseitiger Fragestellung und α = 0, 05 den kritischen Wert R(n = 9, α/2) = 5. Da T > 5 ist, kann H0 nicht abgelehnt werden.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Wilcoxon-Test
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos