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Lexikon der Mathematik: Williamson, Satz von

eine Satz aus dem Jahre 1936, der wie folgt lautet:

Sei H : V → ℝ eine quadratische Hamilton-Funktion auf einem endlichdimensionalen symplektischen Vektorraum (V, ω).

Dann läßt sich V in eine direkte Summe \(\begin{eqnarray}{\oplus}_{\alpha =1}^{N}{V}_{\alpha}\end{eqnarray}\)von paarweise schieforthogonalen symplektischen Unterräumen Vα von so V zerlegen, daß H durch alle ihre Einschränkungen H| vollständig bestimmt ist, und jede dieser Einschränkungen durch eine lineare symplektische Transformation auf eine der folgenden Normalformen gebracht werden kann, wobei a, b nichtverschwindende reelle Zahlen, und \begin{eqnarray}(p,q):=({q}_{1},\ldots, {q}_{n},{q}_{1},\ldots, {p}_{n})\end{eqnarray}lineare Darboux-Koordinaten in Vα bezeichnen:

1. \(-a\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{p}_{j}{q}_{j}+\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{p}_{j}{q}_{j+1}\)

2. \(\begin{array}{c}-a\displaystyle \sum _{j=1}^{2k}{p}_{j}{q}_{j}+b\displaystyle \sum _{j=1}^{k}({p}_{2j-1}{q}_{2j}-{p}_{2j}{q}_{2j-1})\\ +\displaystyle \sum _{j=1}^{2k-2}{p}_{j}{q}_{j+2}\end{array}\)

3. \(\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}{p}_{j}{q}_{j+1}\)

4. \(\begin{array}{c}\pm \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}{p}_{j}{p}_{k-j}-\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{q}_{j}{q}_{k-j+1}\right)\\ -\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}{p}_{j}{q}_{j+1}\end{array}\)

5. \(\begin{array}\pm \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle \sum _{j=1}^{k}({b}^{2}{p}_{2j}{p}_{2k-2j+2}+{q}_{2j}{q}_{2k-2j+2})\\ -\displaystyle \sum _{j=1}^{k+1}({b}^{2}{p}_{2j-1}{p}_{2k-2j+3}+{q}_{2j-1}{q}_{2k-2j+3})\right)\\ \qquad -\displaystyle \sum _{j=1}^{2k}{p}_{j}{q}_{j+1}\end{array}\)

6. \(\begin{array}\pm \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle \sum _{j=1}^{k}(\frac{1}{{b}^{2}}{q}_{2j-1}{q}_{2k-2j+1}+{q}_{2j}{q}_{2k-2j+2})\\ -\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}({b}^{2}{p}_{2j+1}{p}_{2k-2j+1}+{p}_{2j+2}{p}_{2k-2j+2})\right)\\\qquad -{b}^{2}\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{p}_{2j-1}{q}_{2j}+\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{p}_{2j}{q}_{2j-1}\end{array}\)

Die jeweilige Dimension von Vα beträgt hierbei 2k (in den Fällen 1., 3. und 4.), 4k (in den Fällen 2. und 6.) bzw. 4k + 2 (im Falle 5.).

Für k = 0 verschwinden alle Funktionen, außer im Fall 5., wo dann gilt \begin{eqnarray}\pm (1/2)({b}^{2}{p_{1}}^{2}+{q_{1}}^{2}).\end{eqnarray}

Für k = 1 erhält man:

Im Fall 1.:ap1q1,

im Fall 2.:a(p1q1 + p2q2) + b(p1q2p2q1),

im Fall 3.: 0,

im Fall 4.: ±(1/2)q12,

im Fall 5.: ±(1/2)(b2p12 + q12), und

im Fall 6.: ±(1/2)((q12/b2) + q22) − b2p1q2 + p2q1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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