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Lexikon der Mathematik: Windung

Torsion, geometrische Invariante τ(s) einer differenzierbaren Kurve α(s) im ℝ3, die deren Abweichung von einem ebenen Verlauf mißt.

Ist s der Parameter der Bogenlänge auf α(s) und \({\mathfrak{t}}\), \({\mathfrak{n}}\), \({\mathfrak{b}}\) das begleitende Dreibein, so ist τ(s) nach den Frenetschen Formeln durch \begin{eqnarray}\tau (s)=\langle \dot{{\mathfrak{n}}}(s),{\mathfrak{b}}(s)\rangle =-\langle {\mathfrak{n}}(s),\dot{{\mathfrak{b}}}(s)\rangle \end{eqnarray}

gegeben.

Die folgende Formel gestattet das direkte Berechnen der Windung aus den Ableitungen α′ (t), α″ (t) und α″′ (t) von α nach einem beliebigen Kurvenparameter t. Es ist \begin{eqnarray}\tau (s)=\frac{\langle {\alpha}{^{\prime}}\times {\alpha}^{^{\prime\prime}},{\alpha}^{\prime\prime\prime}\rangle}{{\Vert {\alpha}{^{\prime}}\times {\alpha}^{^{\prime\prime}}\Vert}^{2}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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