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Lexikon der Mathematik: Windungsabbildung

eine holomorphe Funktion mit speziellen Eigenschaften.

Zur Definition sei U ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine holomorphe Funktion in U, die nicht konstant ist, z0U, a := f(z0), und n := ν(f, z0) ∈ ℕ die Vielfachheit der a-Stelle z0 von f. Man nennt f eine Windungsabbildung um z0 vom Grad n, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) Es gibt eine offene Kreisscheibe B mit Mittelpunkt a und Radius r > 0 derart, daß f(U) ⊂ B.

(b) Es gibt eine konforme Abbildung g von U auf 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} derart, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}g({z}_{0})=0 & \text{und} & f=T\circ {q}_{n}\circ g,\end{array}\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{q}_{n}(z):={z}^{n} & \text{und} & T(z):=rz+a\end{array}\end{eqnarray}

für z ∈ 𝔼.

Ist f eine Windungsabbildung um z0, so ist f eine lokal schlichte Funktion in U \ {z0}, und für jedes wf(U) ist die Urbildmenge f−1 (w) ⊂ U eine endliche Menge.

Jede holomorphe Funktion ist lokal eine Windungsabbildung. Genauer gilt folgender Satz.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine holomorphe Funktion in G, die nicht konstant ist, und z0G. Dann existiert eine offene Umgebung UG um z0derart, daß die eingeschränkte Funktion f |U eine Windungsabbildung um z0vom Grad ν(f, z0) ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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