ein wichtiger Begriff für holomorphe Funktionen in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1}.

Zur Definition sei f eine holomorphe Funktion in 𝔼 und ζ ∈ 𝕋 := ∂𝔼. Eine Zahl \(\alpha \in \hat{{\mathbb{C}}}\) heißt Winkelderivierte von f an ζ, falls f an ζ einen endlichen Winkelgrenzwert f(ζ) besitzt, und für jeden Stolzschen Winkelraum Δ an ζ gilt: \begin{eqnarray}\frac{f(z)-f(\zeta)}{z-\zeta}\to a\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,z\to \zeta, z\in \Delta.\end{eqnarray}

Man schreibt dann a = f′(ζ). Dabei ist zugelassen, daß f′(ζ) = ∞. Ist f′(ζ) ∈ ℂ, so nennt man f′(ζ) eine endliche Winkelderivierte.

Die Funktion f besitzt eine endliche Winkelderivierte f′(ζ) genau dann, wenn f′ den endlichen Winkelgrenzwert f′(ζ) besitzt.

Der folgende Satz liefert ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer Winkelderivierten.

Es sei f eine holomorphe Funktion in 𝔼 mit f(𝔼) ⊂ 𝔼, und f besitze an ζ ∈ 𝕋 einen Winkelgrenzwert f(ζ) ∈ 𝕋.

Dann existiert die Winkelderivierte f′(ζ), und es gilt \begin{eqnarray}0\lt \zeta \frac{{f}{^{\prime}}(\zeta)}{f(\zeta)}=\mathop{\sup}\limits_{z\in \mathbb{E}}\frac{1-|z{|}^{2}}{|\zeta -z{|}^{2}}\frac{|f(\zeta)-f(z){|}^{2}}{1-|f(z){|}^{2}}\le +\infty.\end{eqnarray}

Die Winkelderivierte spielt auch eine wichtige Rolle bei der Untersuchung des Randverhaltens konformer Abbildungen. Um einen kurzen Einblick zu geben, sei f eine konforme Abbildung von 𝔼 auf ein einfach zusammenhängendes Gebiet G ⊂ ℂ. Dann existiert eine überabzählbare, dichte Teilmenge E_f von 𝕋 derart, daß f an jedem ζ ∈ E_f eine endliche Winkelderivierte f′(ζ) besitzt.

Man nennt f konform am Randpunkt ζ ∈ 𝕋, falls an ζ eine endliche Winkelderivierte f′(ζ) ≠ 0 besitzt. Ist ∂G eine rektifizierbare Jordan-Kurve, so ist f an fast jedem Punkt ζ ∈ 𝕋(bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes auf 𝕋) konform. Andererseits gibt es konforme Abbildungen von 𝔼 auf Gebiete G derart, daß ∂G eine quasikonforme Kurve und f an keinem Punkt ζ ∈ 𝕋 konform ist. In diesem Fall gilt f′(ζ) = 0 für alle ζ ∈ 𝔼_f.