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Lexikon der Mathematik: Wishart-Verteilung

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine zufällige Matrix, die auf der Basis zufälliger normalverteilter Vektoren definiert wird.

Seien \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\overrightarrow{U}}_{i}\sim {N}_{p}({\overrightarrow{\mu}}_{i},\Sigma), & i=1,\ldots, k,\end{array}\end{eqnarray}

k zufällige p−dimensionale stochastisch unabhängige normalverteilte Vektoren mit Erwartungswertvektor \(E{\overrightarrow{U}}_{i}={\overrightarrow{\mu}}_{i}\) und gleichen Kovarianzmatrizen \begin{eqnarray}\Sigma =Cov({\overrightarrow{U}}_{i},{\overrightarrow{U}}_{i}):=E({\overrightarrow{U}}_{i}-{\overrightarrow{\mu}}_{i}))({\overrightarrow{U}}_{i}-{\overrightarrow{\mu}}_{i}){)}^{T}.\end{eqnarray}

Seien weiterhin \({U}^{T}=({\overrightarrow{U}}_{1},{\overrightarrow{U}}_{2},\ldots, {\overrightarrow{U}}_{k})\) und \({M}^{T}=({\overrightarrow{\mu}}_{1},{\overrightarrow{\mu}}_{2},\ldots, {\overrightarrow{\mu}}_{k})\) die (p × k)-Matritzen, deren Spaltenvektoren die zufälligen Vektoren \({\overrightarrow{U}}_{i}\) bzw. \({\overrightarrow{\mu}}_{i}\) sind. Dann nennt man die gemeinsame Verteilung der Matrix \begin{eqnarray}S={U}^{T}U=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\overrightarrow{U}}_{i}{({\overrightarrow{U}}_{i})}^{T}\end{eqnarray}

Wishart-Verteilung mit k Freiheitsgraden. Sie wird mit SWp(k, Σ, M) bezeichnet. Im Fall M = 0 heißt die Verteilung zentral und wird i. allg. mit Wp(k, Σ) bezeichnet.

Im Fall p = 1 gilt \begin{eqnarray}{W}_{1}(k,{\sigma}^{2})={\sigma}^{2}{\chi}_{k}^{2},\end{eqnarray}

die Wishart-Verteilung ist also eine mehrdimensionale Verallgemeinerung der χ2-Verteilung.

Die Wishart-Verteilung wurde 1928 von John Wishart definiert. Sie findet vor allem bei der Untersuchung stochastischer Prozesse und bei der Untersuchung mehrdimensionaler Zufallsgrößen wie z. B. multipler Messungen Anwendung.

Die zentrale Wishart-Verteilung besitzt u. a. folgende wichtige Eigenschaften (für nichtzentrale Verteilungen gelten analoge Aussagen):

1. Seien \(\overrightarrow{L}\in {{\mathbb{R}}}^{p}\) ein nichtzufälliger p-dimensionaler reeller Vektor und SWp(k, Σ) eine Wishartverteilte stochastische Matrix. Weiterhin sei \({\sigma}_{L}:={\overrightarrow{L}}^{T}\Sigma \overrightarrow{L}\). Dann gilt: \begin{eqnarray}{\overrightarrow{L}}^{T}S\overrightarrow{L}\sim {\sigma}_{L}^{2}{\chi}_{k}^{2}\leftrightarrow S\sim {W}_{p}(k,\Sigma).\end{eqnarray}

2. Sei A eine nichtstochastische (p × p)-Matrix mit r = rg(A). Dann gilt \begin{eqnarray}{\overrightarrow{U}}^{T}A\overrightarrow{U}\sim {W}_{p}(r,\Sigma)\leftrightarrow {\overrightarrow{L}}^{T}{\overrightarrow{U}}^{T}A\overrightarrow{U}\overrightarrow{L}\sim {\sigma}_{L}^{2}{\chi}_{r}^{2}\end{eqnarray}

für beliebige feste Vektoren \(\overrightarrow{L}\in {{\mathbb{R}}}^{p}\).

3. Seien S1Wp(k1, Σ) und S2Wp(k2, Σ) zwei stochastisch unabhängige Wishart-verteilte Matrizen. Dann gilt: \begin{eqnarray}S={S}_{1}+{S}_{2}\sim {W}_{p}({k}_{1}+{k}_{2},\Sigma).\end{eqnarray}

4. Sei SWp(k, Σ), und seien \begin{eqnarray}S:=\left(\begin{array}{cc}{S}_{11} & {S}_{12}\\ {S}_{21} & {S}_{22}\end{array}\right)\,\,\text{und}\,\,\,\,\Sigma :=\left(\begin{array}{cc}{\Sigma}_{11} & {\Sigma}_{12}\\ {\Sigma}_{21} & {\Sigma}_{22}\end{array}\right)\end{eqnarray}

Zerlegungen von S und Σ in Blockmatrizen, wobei S11 und Σ11 reguläre (r × r)-Matrizen sind. Dann gilt: \begin{eqnarray}{S}_{22}-{S}_{21}{S}_{11}^{-1}{S}_{12}\sim {W}_{p}(k-r,{\Sigma}_{22}-{\Sigma}_{21}{\Sigma}_{11}^{-1}{\Sigma}_{12}).\end{eqnarray}

5. Sei SWp(k, Σ). Dann gilt: \begin{eqnarray}\frac{{\overrightarrow{L}}^{T}{\Sigma}^{-1}\overrightarrow{L}}{{\overrightarrow{L}}^{T}{S}^{-1}\overrightarrow{L}}\,{\chi}_{k-(p-1)}^{2}\end{eqnarray}

für beliebige feste Vektoren \(\overrightarrow{L}\in {{\mathbb{R}}}^{p}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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