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Lexikon der Mathematik: Wrapping-Effekt

Vergröberung der Lösungsverifikation bei Anfangswertproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen durch den Einsatz der Intervallrechnung.

Ist y ein Intervallvektor, f(x, y) ∈ ℝn+1, \begin{eqnarray}y(x;\tilde{x},\tilde{y})=\{y(x)|{y}{^{\prime}}=f(x,y)\,\text{mit}\,y(\tilde{x})\in \tilde{\bf y}\},\end{eqnarray}

und x0 < x1 < … < xn = xe ein Gitter, so ist y(x1; x0, y(0)) im allgemeinen kein Intervallvektor, wird aber bei der Lösungsverifikation durch einen Intervallvektor y(1) eingeschlossen, und führt dann zu einer Überschätzung.

Für x2 wiederholt sich diese Betrachtung mit x1, x2, y(1), y(2) anstelle von x0, x1, y(0), y(1), und es gilt \begin{eqnarray}{y}({x}_{2};{x}_{0},{\bf y}^{(0)})\subseteq y({x}_{2};{x}_{1},{\bf y}^{(1)})\subseteq {\bf y}^{(2)}.\end{eqnarray}

Das Phänomen der (möglicherweise wachsenden) Überschätzung durch die sukzessive Einschlie-ßung mit Intervallvektoren nennt man Wrapping-Effekt (to wrap = einwickeln) der Wertemengen y(xk+1; xk, y(k)) durch Intervallvektoren.

Dieser Effekt ist primär auf das Arbeiten mit Intervallen zurückzuführen und erst sekundär vom speziell verwendeten Verfahren zur Lösungsverifikation abhängig.

Die Einschließung vergröbert sich auch in Abwesenheit von Rundungs- und Diskretisierungsfehlern. Methoden zur Beherrschung des Wrapping-Effekts beruhen daher zumeist auf einer Drehung des Koordinatensystems, welche während der Rechnung mitgeführt wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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