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Lexikon der Mathematik: Wronski-Determinante

die Determinante einer Lösungsmatrix (lineares Differentialgleichungssystem) zu einem homogenen, auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten linearen Differentialgleichungssystem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}{^{\prime}}=A(t){\bf y}.\end{array}\end{eqnarray}

Seien y1, …, yn Lösungen des Differentialgleichungsystems (1) und Y(t) :=(y1(t), …, yn(t)) damit eine Lösungsmatrix. Ihre Determinante W(t) := det Y(t) heißt Wronski-Determinante des Lösungssystems y1, …, yn.

Für eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung \begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}(x){y}^{(n-1)}+\cdots +{a}_{1}(x){y}{^{\prime}}+{a}_{0}(x)y=0\end{eqnarray}

mit den Lösungen y1, …, yn erhält die Wronski-Determinante durch den Übergang zu dem entsprechenden äquivalenten Differentialgleichungssystem (lineare Differentialgleichung) die Form \begin{eqnarray}W(x):=\det \left(\begin{array}{ccc}{y}_{1}(x) & \cdots & {y}_{n}(x)\\ {{y^{\prime}_{1}}}(x) & \cdots & {{y^{\prime}_{n}}}(x)\\ \vdots & & \vdots \\ {y}_{1}^{(n-1)}(x) & \cdots & {y}_{n}^{(n-1)}(x)\end{array}\right)\end{eqnarray}

Es gelten folgende Aussagen:

Entweder ist W(x) = 0 für alle xI, oder es ist W(x) ≠ 0 für alle xI.

Sowie:

n Lösungen eines homogenen Differentialgleichungssystems bzw. einer homogenen Differentialgleichung nter Ordnung bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre Wronski-Determinante ungleich Null ist.

Wenn A(t) auf I stetig ist, so genügt die Wronski-Determinante der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{W}{^{\prime}}=(\text{tr}\,A(t))W.\end{eqnarray}

Daraus folgt \begin{eqnarray}W(t)=W({t}_{0}){e}^{\displaystyle {\int}_{{t}_{0}}^{t}\text{tr}\,A(s)ds},\end{eqnarray}

d. h., selbst ohne Kenntnis der Lösung läßt sich die Wronski-Determinante allein aus dem Anfangswert W(t0) berechnen.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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