Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Wurzelkriterium

liefert die (absolute) Konvergenz von gewissen Reihen \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\) reeller oder komplexer Zahlen aν :

Gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\le q & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

für ein q mit 0 ≤ q < 1 und N ∈ ℕ, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)absolut konvergent (und damit konvergent).

Das Wurzelkriterium ergibt sich aus dem Majorantenkriterium unmittelbar durch Vergleich mit der geometrischen Reihe. Ergänzt wird das Kriterium gelegentlich noch durch die triviale Aussage:

Gilt \(\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\ge 1\)unendlich oft, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)divergent.

Denn hier ist (aν) nicht einmal Nullfolge. Gelegentlich wird das Kriterium (mit Ergänzung) auch wie folgt notiert:

Die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)ist absolut konvergent, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup}\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\lt 1\end{eqnarray}

gilt. Aus \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup}\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\gt 1\end{eqnarray}

folgt die Divergenz.

Dabei ist diese Divergenzaussage schwächer als die in der o. a. Ergänzung, wie etwa das Beispiel an = 1 (n ∈ ℕ) zeigt.

Die aufgeführten Überlegungen gelten entsprechend für Reihen mit Gliedern aus einem Banachraum.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte