kubische Form auf dem Raum H¹ (X,Θ_X) (Θ_X die Tangentialgarbe) einer 3-dimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit (einfach zusammenhängende kompakte Kähler- Mannigfaltigkeit mit einer nirgends verschwindenden holomorphen 3-Form), die in der Physik als Korrelationsfunktion eines Modells der konformen Feldtheorie Bedeutung hat.

Hier wird der für die algebraische Geometrie relevante Formalismus beschrieben. Die Form erhält man durch Iteration der infinitesimalen Perioden-Abbildung \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{\Theta}_{X})\to \oplus \text{Hom}({H}^{p,q},{H}^{p-1,q+1})\end{eqnarray}

(mit \({H}^{pq}={H}^{q}(X,{\Omega}_{X}^{p})\)), die sich auch als die Abbildung, die aus dem Cup-Produkt \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{\Theta}_{M})\otimes {H}^{pq}\to {H}^{q+1}(X,{\Theta}_{X}\otimes {\Omega}_{X}^{p})\end{eqnarray}

und der Konstruktion \({\Theta}_{X}\otimes {\Omega}_{X}^{p}\to {\Omega}_{X}^{p-1}\) entsteht, beschreiben läßt. Durch n-fache Iteration solcher Abbildungen (zu t₁, …, t_n ∈ H¹ (X, Θ_X)) erhält man für n-Mannigfaltigkeiten eine Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{\text{Sym}}}^{n}({H}^{1}(X,{\Theta}_{X}))\to \text{Hom}({H}^{n,0},{H}^{0,n})\\ \quad =({{H}^{n,0}})^{X\otimes2}\end{array}\end{eqnarray}

(letzteres Aufgrund von Serre-Dualität). Eine nirgends verschwindende n-Form liefert einen Isomorphismus (H^n,0)*⊗2 → ℂ und somit eine n-Form, das (normalisierte) Yukawa-Coupling \begin{eqnarray}Y:{\text{Sym}}^{n}({H}^{1}(X,{\Theta}_{X}))\to {\mathbb{C}}.\end{eqnarray}

Ebenso erhält man für jede Deformation \begin{eqnarray}(\chi \mathop{\to}\limits^{\pi}B,X\simeq {\pi}^{-1}(0))\end{eqnarray}

von X (Modulprobleme) über die Kodaira-Spencer-Abbildung eine n-Form Y auf dem Tangentialraum T₀ (B), bzw. eine holomorphe Funktion auf dem Tangentialbündel TB, die homogen vom Grad n auf den Fasern von TB → B ist (sofern eine relative nirgends verschwindende n-Form ausgezeichnet wird). Bemerkenswert ist, daß bei geeigneter Normierung für 3-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten die 3-Form Y eine Potentialfunktion im Sinne von Frobenius-Mannigfaltigkeiten besitzt: Es sei \begin{eqnarray}(\chi \mathop{\to}\limits^{\pi}B,X\simeq {\pi}^{-1}(0))\end{eqnarray}

eine semiuniverselle Deformation (Modulprobleme). Es ist bekannt, daß für Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Parameter-Raum B glatt ist, so daß man B mit einer Umgebung der 0 in H¹ (X,Θ_X) identifizieren kann. Ist \begin{eqnarray}n=\dim {H}^{1}(X,{\Theta}_{X})={h}^{21}(X)\end{eqnarray}

(da eine nirgends verschwindende holomorphe 3- Form durch Kontraktion einen Isomorphismus \({\Theta}_{X}\to {\Omega}_{X}^{2}\) liefert), so existiert bei genügend kleinem B eine konstante symplektische Basis (α₀, …, α_n, β₀, …, β_n) von R³ π_∗ Z_X und eine relative nirgends verschwindende Form \begin{eqnarray}\omega \in {H}^{0}(\chi,{\Omega}_{\chi /B}^{3})\end{eqnarray}

mit der Normierung Q(α₀,ω) = 1 (wobei Q die durch das Cup-Produkt gegebene symplektische Paarung auf \({R}^{3}{\pi}_{*}{\mathbb{Z}}\subset {{\mathbb{R}}}^{3}{\pi}_{*}{\mathbb{C}}\subset {{\mathcal H}}_{\text{DR}}^{3}(\chi /S)\) ist, siehe de Rham-Kohomologie, Gauß-Manin-Zusammenhang). Dann ist (z₁, …,z_n) mit z_j = Q(α_j,ω)ein Koordinatensystem auf B, und \begin{eqnarray}\frac{\partial Q({\beta}_{j},\omega)}{\partial {z}_{k}}=\frac{\partial Q({\beta}_{k},\omega)}{\partial {z}_{j}},\end{eqnarray}

also existiert eine Funktion F auf B mit \begin{eqnarray}\frac{\partial F}{\partial {z}_{j}}=Q({\beta}_{j},\omega).\end{eqnarray}

Diese ist Potentialfunktion für Y, d. h. \begin{eqnarray}Y\left(\frac{\partial}{\partial {z}_{j}},\frac{\partial}{\partial {z}_{k}},\frac{\partial}{\partial {z}_{l}}\right)=\frac{{\partial}^{3}F}{\partial {z}_{j}\partial {z}_{k}\partial {z}_{l}}\end{eqnarray}

(Frobenius-Mannigfaltigkeiten).

Die sog. Mirror-Vermutung besagt u. a., daß zu X eine Mirror-Familie X^∗ von Calabi-Yau 3-Mannigfaltigkeiten existiert mit Isomorphismen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{H}^{11}(X)={H}^{21}(X^*), & {H}^{21}(X)\end{array}={H}^{11}(X^*),\end{eqnarray}

die mit den Strukturen von Frobenius-Mannigfaltigkeiten, auf H¹¹ induziert durch das Gromov-Witten-Potential (Quantenkohomologie) und auf H²¹ durch (geeignet normiertes) Yukawa-Coupling, verträglich sind.