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Lexikon der Mathematik: Yukawa-Coupling

kubische Form auf dem Raum H1 (XX) (ΘX die Tangentialgarbe) einer 3-dimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit (einfach zusammenhängende kompakte Kähler- Mannigfaltigkeit mit einer nirgends verschwindenden holomorphen 3-Form), die in der Physik als Korrelationsfunktion eines Modells der konformen Feldtheorie Bedeutung hat.

Hier wird der für die algebraische Geometrie relevante Formalismus beschrieben. Die Form erhält man durch Iteration der infinitesimalen Perioden-Abbildung \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{\Theta}_{X})\to \oplus \text{Hom}({H}^{p,q},{H}^{p-1,q+1})\end{eqnarray}

(mit \({H}^{pq}={H}^{q}(X,{\Omega}_{X}^{p})\)), die sich auch als die Abbildung, die aus dem Cup-Produkt \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{\Theta}_{M})\otimes {H}^{pq}\to {H}^{q+1}(X,{\Theta}_{X}\otimes {\Omega}_{X}^{p})\end{eqnarray}

und der Konstruktion \({\Theta}_{X}\otimes {\Omega}_{X}^{p}\to {\Omega}_{X}^{p-1}\) entsteht, beschreiben läßt. Durch n-fache Iteration solcher Abbildungen (zu t1, …, tnH1 (X, ΘX)) erhält man für n-Mannigfaltigkeiten eine Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{\text{Sym}}}^{n}({H}^{1}(X,{\Theta}_{X}))\to \text{Hom}({H}^{n,0},{H}^{0,n})\\ \quad =({{H}^{n,0}})^{X\otimes2}\end{array}\end{eqnarray}

(letzteres Aufgrund von Serre-Dualität). Eine nirgends verschwindende n-Form liefert einen Isomorphismus (Hn,0)*⊗2 → ℂ und somit eine n-Form, das (normalisierte) Yukawa-Coupling \begin{eqnarray}Y:{\text{Sym}}^{n}({H}^{1}(X,{\Theta}_{X}))\to {\mathbb{C}}.\end{eqnarray}

Ebenso erhält man für jede Deformation \begin{eqnarray}(\chi \mathop{\to}\limits^{\pi}B,X\simeq {\pi}^{-1}(0))\end{eqnarray}

von X (Modulprobleme) über die Kodaira-Spencer-Abbildung eine n-Form Y auf dem Tangentialraum T0 (B), bzw. eine holomorphe Funktion auf dem Tangentialbündel TB, die homogen vom Grad n auf den Fasern von TBB ist (sofern eine relative nirgends verschwindende n-Form ausgezeichnet wird). Bemerkenswert ist, daß bei geeigneter Normierung für 3-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten die 3-Form Y eine Potentialfunktion im Sinne von Frobenius-Mannigfaltigkeiten besitzt: Es sei \begin{eqnarray}(\chi \mathop{\to}\limits^{\pi}B,X\simeq {\pi}^{-1}(0))\end{eqnarray}

eine semiuniverselle Deformation (Modulprobleme). Es ist bekannt, daß für Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Parameter-Raum B glatt ist, so daß man B mit einer Umgebung der 0 in H1 (XX) identifizieren kann. Ist \begin{eqnarray}n=\dim {H}^{1}(X,{\Theta}_{X})={h}^{21}(X)\end{eqnarray}

(da eine nirgends verschwindende holomorphe 3- Form durch Kontraktion einen Isomorphismus \({\Theta}_{X}\to {\Omega}_{X}^{2}\) liefert), so existiert bei genügend kleinem B eine konstante symplektische Basis (α0, …, αn, β0, …, βn) von R3 π ZX und eine relative nirgends verschwindende Form \begin{eqnarray}\omega \in {H}^{0}(\chi,{\Omega}_{\chi /B}^{3})\end{eqnarray}

mit der Normierung Q(α0,ω) = 1 (wobei Q die durch das Cup-Produkt gegebene symplektische Paarung auf \({R}^{3}{\pi}_{*}{\mathbb{Z}}\subset {{\mathbb{R}}}^{3}{\pi}_{*}{\mathbb{C}}\subset {{\mathcal H}}_{\text{DR}}^{3}(\chi /S)\) ist, siehe de Rham-Kohomologie, Gauß-Manin-Zusammenhang). Dann ist (z1, …,zn) mit zj = Q(αj,ω)ein Koordinatensystem auf B, und \begin{eqnarray}\frac{\partial Q({\beta}_{j},\omega)}{\partial {z}_{k}}=\frac{\partial Q({\beta}_{k},\omega)}{\partial {z}_{j}},\end{eqnarray}

also existiert eine Funktion F auf B mit \begin{eqnarray}\frac{\partial F}{\partial {z}_{j}}=Q({\beta}_{j},\omega).\end{eqnarray}

Diese ist Potentialfunktion für Y, d. h. \begin{eqnarray}Y\left(\frac{\partial}{\partial {z}_{j}},\frac{\partial}{\partial {z}_{k}},\frac{\partial}{\partial {z}_{l}}\right)=\frac{{\partial}^{3}F}{\partial {z}_{j}\partial {z}_{k}\partial {z}_{l}}\end{eqnarray}

(Frobenius-Mannigfaltigkeiten).

Die sog. Mirror-Vermutung besagt u. a., daß zu X eine Mirror-Familie X von Calabi-Yau 3-Mannigfaltigkeiten existiert mit Isomorphismen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{H}^{11}(X)={H}^{21}(X^*), & {H}^{21}(X)\end{array}={H}^{11}(X^*),\end{eqnarray}

die mit den Strukturen von Frobenius-Mannigfaltigkeiten, auf H11 induziert durch das Gromov-Witten-Potential (Quantenkohomologie) und auf H21 durch (geeignet normiertes) Yukawa-Coupling, verträglich sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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