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Lexikon der Mathematik: Z-Transformation

Fishersche Z-Transformation, wird in der Korrelationsanalyse und für Korrelationstests verwendet.

Sei (Xi, Yi), i = 1, …, n eine Stichprobe des zweidimensionalen normalverteilten zufälligen Vektors (X, Y), und \(\hat{\varrho }\) der empirische Korrelationskoeffizient, d.h., die Maximum-Likelihood-Schätzung des einfachen Korrelationskoeffizienten \begin{eqnarray}\varrho =\frac{E(X-EX)(Y-EY)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\end{eqnarray} zwischen X und Y. Zur Konstruktion eines (asymptotischen) Signifikanztests zum Prüfen der Hypothese \begin{eqnarray}{H}_{0}:\varrho ={\varrho }_{0}\end{eqnarray} verwendet man die Fishersche Z-Transformierte \begin{eqnarray}Z=\frac{1}{2}\text{ln}\,\left(\frac{1+\hat{\varrho }}{1-\hat{\varrho }}\right).\end{eqnarray}z ist unter der Annahme der Gültigkeit von H0 asymptotisch normalverteilt mit \begin{eqnarray}E(Z)\approx c({\varrho }_{0})=\frac{1}{2}\text{ln}\,\left(\frac{1+{\varrho }_{0}}{1-{\varrho }_{0}}\right)+\frac{{\varrho }_{0}}{2(n-1)}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}Var(Z)\approx \frac{1}{n-3}.\end{eqnarray} Als Testgröße zum Prüfen von H0 kann folglich \begin{eqnarray}T=(Z-c({\varrho }_{0}))\cdot \sqrt{n-3}\end{eqnarray} verwendet werden. H0 wird bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art α abgelehnt, falls (bei zweiseitiger Fragestellung) |T| > z(1 − α/2) ist, wobei z(p) das p-Quantil der Standard-Normalverteilung ist.

Mit der Z-Transformierten kann auch die Gleichheit zweier Korrelationskoeffizienten geprüft werden. Sind \({\hat{\varrho }}_{1}\) und \({\hat{\varrho }}_{2}\) die empirischen Korrelationskoeffizienten zweier Stichproben \(({X}_{i}{}^{(1)},{Y}_{i}{}^{(1)}),i=1,\ldots,{n}_{1},\) und \(({X}_{i}{}^{(2)},{Y}_{i}{}^{(2)}),i=1,\ldots,{n}_{2},\), zweidimensional normalverteilter zufälliger Vektoren mit den Korrelationskoeffizienten ϱ1 und ϱ2, so ist die Testgröße \begin{eqnarray}\begin{array}{ll} & T=\displaystyle\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}-3}+\frac{1}{{n}_{2}-3}}}\,\text{mit}\\ {z}_{i}= & \displaystyle\frac{1}{2}\text{ln}\,\left(\frac{1+\hat{\varrho }i}{1-\hat{\varrho }i}\right),\,\,\,\,i=1,2\end{array}\end{eqnarray} asymptotisch Standardnormalverteilt, falls H0 : ϱ1 = ϱ2 wahr ist. H0 wird abgelehnt, falls (bei zweiseitiger Fragestellung) |T| > z(1 − α/2) ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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