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Lexikon der Mathematik: zahlentheoretische Funktion

arithmetische Funktion, eine auf den natürlichen Zahlen ℕ definierte Funktion mit Werten in den komplexen Zahlen ℂ.

Eine zahlentheoretische Funktion f : ℕ → ℂ ist also eine Folge (f (n))n∈ℕ komplexer Zahlen.

Interessante zahlentheoretischen Funktionen sind etwa die Teilersummenfunktion \begin{eqnarray}\sigma (n)=\displaystyle \sum _{d\in {\mathbb{N}},d|n}d\end{eqnarray}

oder die Eulersche φ-Funktion \begin{eqnarray}\phi (n)=|{({\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}})}^{\times}|,\end{eqnarray}

die jedem n ∈ ℕ die Anzahl der primen Restklassen modulo n zuordnet. Die durch f (n) = σ(n)bzw. f (n) = φ(n) gegebenen zahlentheoretischen Funktionen sind multiplikativ, d. h., es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(mn)=f(m)f(n) & \,{f}{\ddot{u}}{r}\,\text{ggT}(m,n)=1.\end{array}\end{eqnarray}

Demgegenüber heißt eine zahlentheoretische Funktion f additiv, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(mn)=f(m)+f(n) & \,{f}{\ddot{u}}{r}\,\text{ggT}(m,n)=1;\end{array}\end{eqnarray}

f heißt strikt additiv (total additiv, vollständig additiv), wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(mn)=f(m)+f(n) & \,{f}{\ddot{u}}{r}\,\text{beliebige}\,m,n\in {\mathbb{N}}\end{array}.\end{eqnarray}

Ein Beispiel für eine additive zahlentheoretische Funktion ist nω(n), wobei ω(n) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n bezeichnet. Mit Ω(n) bezeichnet man die Anzahl der Primfaktoren von n, wobei jeder Primteiler mit seiner Vielfachheit gezählt wird; n ↦ ω(n) ist ein Beispiel für eine strikt additive zahlentheoretische Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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