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Lexikon der Mathematik: Zahlsystem

Verfahren zum schriftlichen Ausdrücken von Zahlen. Man unterscheidet hierbei Additionssysteme, Positionssysteme, und andere.

Bei einem Additionssystem ergibt sich der Wert eines niedergeschriebenen Ausdrucks im wesentlichen als Summe der Werte von Teilausdrücken. Das primitivste Additionssystem ist die Strichliste zur Notation natürlicher Zahlen, bei der jeder Strich den Wert 1 hat. Um eine natürliche Zahl n aufzuschreiben, muß man also n Striche zeichnen. \begin{eqnarray}\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \cdots \\ | & || & ||| & |||| & ||||| & |||||| & ||||||| & \cdots \end{array}\end{eqnarray}

Gleichbedeutend damit wäre es, zur Darstellung von n ebensoviele geeignete Gegenstände, etwa Kieselsteine, zu nehmen. Addiert und subtrahiert wird dann einfach durch Dazulegen oder Wegnehmen der entsprechenden Anzahl von Kieselsteinen, multipliziert und dividiert durch wiederholte Addition bzw. Subtraktion.

Im Strichlistensystem geht sehr bald die Übersicht verloren. Eine einfache Maßnahme ist zunächst das Bündeln z. B. in Fünferpäckchen:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Zahlsystem
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Wesentlich weiter kommt man, wenn man solche Bündel wiederum durch neue Zeichen darstellt und dieses Bündeln und Abkürzen mehrfach wiederholt. Das römische Zahlensystem etwa hat die Grundzeichen I, X, C, M, wobei I den Wert 1 besitzt und jedes weitere den zehnfachen Wert seiner Vorgängers. Bezeichnet w(s) den Wert einer Zeichenreihe s, so gilt also: \begin{eqnarray}\begin{array}{llllll}w(\text{I}) & = & \text{1,} & w(\text{X}) & \text{=} & 10\\ w(\text{C}) & = & \text{100,} & w(\text{M}) & \text{=} & 1000\end{array}\end{eqnarray}

Daneben gibt es die Hilfszeichen V, L und D, die jeweils den fünffachen Wert der Zeichen I, X und C haben: \begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}w(\text{V})=5 &, & w(\text{L})=50 & \text{,} & w(\text{D})=500\end{array}\end{eqnarray}

Ein Grundzeichen g gefolgt von einem höherwertigen Grund- oder Hilfszeichen z hat den Wert \begin{eqnarray}w(gz)=w(z)-w(g).\end{eqnarray}

Eine gültige Zeichenreihe ist eine Zeichenreihe der Gestalt α1...αn, wobei jedes αk ein Grundoder Hilfszeichen zk oder eine Verbindung gk zk aus einem Grundzeichen und einem höherwertigen Grund- oder Hilfszeichen ist und die zk nach absteigendem Wert geordnet sind, und hat (Additionssystem!) den Wert \begin{eqnarray}w({\alpha}_{1}\cdots {\alpha}_{n})=w({\alpha}_{1})+\cdots +w({\alpha}_{n}).\end{eqnarray}

Eine natürliche Zahl wird ausgedrückt durch eine möglichst kurze zulässige Zeichenreihe. So wird etwa CMIV geschrieben anstelle von DCCCCIIII.

Auch die Stammbruchrechnung der ägyptischen Mathematik kann man als eine Art Additionssystem (zur Darstellung gebrochener Zahlen) betrachten.

Additionssysteme sind ungeeignet zum Schreiben großer Zahlen, weil man zur Vermeidung unhandlich langer Ausdrücke potentiell immer neue Abkürzungen erfinden muß. Dies ist nicht der Fall bei Positions- oder Stellenwertsystemen. Hier benutzt man nur eine kleine Anzahl von Zeichen, Ziffern genannt, und die zu einem Bündel zusammengefaßten Einheiten (z. B. je zehn beim Dezimalsystem) werden auf jeder Bündelungsstufe wieder mit den gleichen Zeichen geschrieben, deren Wert sich aus ihrer Position im Gesamtausdruck ergibt. Im Zweiersystem etwa benutzt man die Ziffern 0 und 1, und in einer Zeichenreihe \begin{eqnarray}{\xi}_{n}\cdots {\xi}_{k}\cdots {\xi}_{0}\end{eqnarray}

hat die Ziffer ξk = 0 den Wert 0 und die Ziffer ξk = 1 den Wert 2k. Es werden also immer zwei Einheiten an einer Stelle k zu einer Einheit an der Stelle k + 1 gebündelt.

Stellenwertsysteme sind nach Zulassen von unendlich langen Zeichenreihen der Gestalt \begin{eqnarray}{\xi}_{n}\cdots {\xi}_{0}\cdot {\xi}_{-1}\cdots \end{eqnarray}

auch zur Darstellung nichtganzer Zahlen geeignet. Im Zweiersystem etwa hat dann die Stelle k auch für negative k ∈ ℤ den Wert 2k. Ebenso wie das erläuterte Stellenwertsystem zur Basis 2 bildet man Stellenwertsysteme zu anderen Basen b ∈ ℕ mit b ≥ 2, und neben solchen Stellenwertsystemen zu fester Basis gibt es auch Stellenwertsysteme zu variabler Basis.

Weiter gibt es Schreibweisen, die sich weder klar als Additions- noch als Positionssystem deuten lassen, wie etwa die Darstellung rationaler Zahlen als Brüche oder die Darstellung reeller Zahlen als Kettenbrüche.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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