dualer Vektorraum von 𝔪/𝔪² für das maximale Ideal 𝔪 eines Noetherschen lokalen Ringes.

Sei R ein Noetherscher lokaler Ring, und seien x₁, …, x_n Elemente seines maximalen Ideals m. Dann gilt für die Höhe \begin{eqnarray}h\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R{x}_{i}\right)\le n.\end{eqnarray}

Wird insbesondere 𝔪 durch n Elemente erzeugt, so gilt dim R ≤ n.

Sei K := R/𝔪. Man kann 𝔪/𝔪² als Vektorraum über K betrachten und hat dann dim_K (𝔪/𝔪²) Elemente, die 𝔪 erzeugen. Es gilt dim R ≤ dim_K (𝔪/𝔪²). Der duale Vektorraum Hom_K 𝔪/𝔪², K heißt Zariski-Tangentialraum von R und wird mit T_𝔪 (R) bezeichnet. Ein Noetherscher Ring R heißt regulärer lokaler Ring, wenn dim R = dim_K T_𝔪 (R) gilt.