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Lexikon der Mathematik: Zariski-Tangentialraum

dualer Vektorraum von 𝔪/𝔪2 für das maximale Ideal 𝔪 eines Noetherschen lokalen Ringes.

Sei R ein Noetherscher lokaler Ring, und seien x1, …, xn Elemente seines maximalen Ideals m. Dann gilt für die Höhe \begin{eqnarray}h\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R{x}_{i}\right)\le n.\end{eqnarray}

Wird insbesondere 𝔪 durch n Elemente erzeugt, so gilt dim Rn.

Sei K := R/𝔪. Man kann 𝔪/𝔪2 als Vektorraum über K betrachten und hat dann dimK (𝔪/𝔪2) Elemente, die 𝔪 erzeugen. Es gilt dim R ≤ dimK (𝔪/𝔪2). Der duale Vektorraum HomK 𝔪/𝔪2, K heißt Zariski-Tangentialraum von R und wird mit T𝔪 (R) bezeichnet. Ein Noetherscher Ring R heißt regulärer lokaler Ring, wenn dim R = dimK T𝔪 (R) gilt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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