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Lexikon der Mathematik: Zariski-Topologie

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Ist k ein algebraisch abgeschlossener Körper, so ist die Menge ℙn (k) (projektiver Raum) mit einer Topologie versehen, deren abgeschlossene Mengen genau die algebraischen Teilmengen sind. Ebenso ist jede Teilmenge, z. B. 𝔸n (k), mit der daraus induzierten Topologie versehen. Die offenen Mengen der Form D+ (F) (F ein homogenes Polynom in den homogenen Koordinaten, D+ (F) = {x, F(x) ≠ 0}) bilden eine Basis dieser Topologie: 𝔸n (k) ist Zariskioffen in ℙn (k). Diese Topologie erfüllt das Trennungsaxiom T1 (jeder Punkt ist abgeschlossen), ist aber nicht Hausdorffsch.

Die Zariski-Topologie von \begin{eqnarray}{{\mathbb{A}}}^{n}(k)\times {{\mathbb{A}}}^{m}(k)={{\mathbb{A}}}^{n+m}(k)\end{eqnarray}

ist nicht die Produkt-Topologie, sondern feiner als diese (sodaß also die Diagonale in 𝔸n (k) × 𝔸n (k) trotzdem abgeschlossen ist).

Für einen kommutativen Ring A wird die Menge der Primideale von A, bezeichnet mit \({\underline{\text{Spec}}}(A)\), mit der Topologie versehen, deren abgeschlossene Mengen die der Form \begin{eqnarray}V(I)=\{\wp \in \mathop{\underline{\text{Spec}}}(A)|\wp \supseteq I\}\end{eqnarray}

sind. Offene Mengen der Form D(f) (fA, D(f) = {℘ ∈ \({\underline{\text{Spec}}}(A)\), f ∉ ℘}) bilden eine Basis dieser Topologie. Dies ist die Zariski-Topologie von \({\underline{\text{Spec}}}(A)\). Diese Topologie ist quasikompakt, erfüllt aber nur das Trennungsaxiom T0 (von je zwei verschiedenen Punkten besitzt wenigstens einer eine Umgebung, die den anderen nicht enthält).

Die abgeschlossenen Punkte entsprechen der Menge \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\) der Maximalideale von A. Wenn A endlich erzeugt über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k ist, so ist \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\) sehr dicht in \({\underline{\text{Spec}}}(A)\) (d. h., UU ∩ \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\), resp.FF ∩ \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\) liefert eine Bijektion des Systems der offenen resp. abgeschlossenen Mengen von \({\underline{\text{Spec}}}(A)\) mit dem entsprechenden System von \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\)) (Hilbertscher Nullstellensatz).

Für A = k [T1, …, Tn] ist \({\underline{\text{Specmax}}}(A)\) ≃ 𝔸n(k) (Hilbertscher Nullstellensatz)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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