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Lexikon der Mathematik: Zeilenstufenform

die durch die folgenden vier Bedingungen eindeutig bestimmte, zu gegebener (m × n)-Matrix A über 𝕂 äquivalente Normalform von A:

  • Der erste von Null verschiedene Eintrag einer Zeile, die nicht nur Nullen enthält, ist 1; dieser Eintrag wird als Pivot-Element bezeichnet.
  • Sind alle Einträge einer Zeile gleich Null, so enthalten auch alle darunter stehenden Zeilen nur Nullen.
  • Das Pivot-Element von Zeile i + 1 steht rechts vom Pivot-Element von Zeile i.
  • Alle Einträge oberhalb eines Pivot-Elementes sind Null.

Jede Matrix über 𝕂 läßt sich durch eine endliche Folge elementarer Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführen.

Auch bei einer Matrix, für die gilt:

Sind in einer Zeile die ersten r Elemente gleich Null, so sind in allen darunter stehenden Zeilen die ersten (r + 1) Elemente (soweit vorhanden) gleich Null spricht man von Zeilenstufenform.

Diese Normalform ist jedoch nicht eindeutig. Hier werden jeweils die ersten von Null verschiedenen Elemente der Zeilen als Pivotelement bezeichnet; das numerische Lösen eines linearen Gleichungssystems durch Überführen einer Matrix in Zeilenstufenform mit dem Gaußschen Algorithmus hängt entscheidend von der Wahl der Pivotelemente ab. Wird eine Matrix B durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix A in Zeilenstufenform überführt, so bilden die von Null verschiedenen Zeilen von A eine Basis des von den Zeilen von B aufgespannten Vektorraumes.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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