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Lexikon der Mathematik: Zeilensummenkriterien

Typus von Kriterien, denen eine quadratische Matrix A genügen muß, um die Konvergenz gewisser numerischer Verfahren zu garantieren.

Es sei A = ((aμν)) eine quadratische (n × n)-Matrix, wobei μ der Zeilen- und ν der Spaltenindex ist. A erfüllt das starke Zeilensummenkriterium, wenn für alle μ ∈ {1, …n} gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{\mu \mu}|\gt \displaystyle \sum _{\begin{array}{c}v=1\\ v\ne \mu \end{array}}^{n}|{a}_{\mu v}|. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Gilt, anstelle von (1), für alle μ ∈ {1, …n} \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{\mu \mu}|\gt \displaystyle \sum _{\begin{array}{c}v=1\\ v\ne \mu \end{array}}^{n}|{a}_{\mu v}|, & (2)\end{array}\end{eqnarray}

und zusätzlich für mindestens ein μ die Ungleichung (1), so sagt man, daß A das schwache Zeilensummenkriterium erfüllt.

Das starke Zeilensummenkriterium impliziert die Konvergenz des aus A gebildeten Jacobi-Verfahrens (Gesamtschrittverfahrens), wohingegen das schwache Kriterium, zusammen mit weiteren technischen Voraussetzungen, die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahrens) impliziert.

[1] Meinardus, G.; Merz, G.: Praktische Mathematik II. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim, 1982.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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