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Lexikon der Mathematik: Zeitreihenanalyse

ein Teilgebiet der Statistik stochastischer Prozesse.

Unter einer Zeitreihe versteht man eine zeitabhängige Folge von Zufallsgrößen X(t1), X(t2), …, X(tn), die als Teil eines stochastischen Prozesses (X(t))tT⊆ℝ aufgefaßt werden. Beobachtungen x(t1), …, x(tn) von X(t1), …, X(tn) bilden dann eine konkrete Realisierung der Zeitreihe. Die Verfahren der Zeitreihenanalyse setzen dabei i. allg. voraus, daß die Zeitabstände der beobachteten Zeitreihe äquidistant sind, daß also gilt: ti = ti−1+h. Man schreibt deshalb statt X(ti) auch nur X(i), i beschreibt dann nicht mehr den Zeitpunkt, sondern die i-te Messung.

Bei der Zeitreihenanalyse geht es darum, aus der Analyse der Zeitreihe Gesetzmäßigkeiten des gesamten zeitlichen Ablaufes von (X(t))tT⊆ℝ zu erkennen. Dabei interessieren insbesondere der Trend m(t), der eine langfristige zeitliche Entwicklung (Tendenz) des betrachteten Vorganges beschreibt, und die periodischen Schwankungen (Saisonschwankungen) s(t), die periodisch auf den Vorgang einwirken. Naturgemäß ergibt sich daraus die Modellgleichung \begin{eqnarray}X(t)=m(t)+s(t)+U(t),\end{eqnarray}

wobei m(t) bzw. s(t) die nichtzufälligen zeitabhängigen Funktionen sind, die den Trend und die Saisonschwankungen beschreiben. (U(t))tT⊆ℝ beschreibt den zufälligen Teil der Zeitreihe mit der Voraussetzung \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}EU(t)=0 & \text{und} & \text{Cov}(U(t),U(t+k))=\sigma (k)\end{array}\end{eqnarray}

für alle t und k, d. h., U(t) wird als im weiteren Sinne stationär vorausgesetzt.

Methoden der Zeitreihenanalyse:

1) Eine übliche Methode besteht darin, für die unbekannten Funktionen m(t) und s(t) parametrische Modelle anzusetzen, und die Parameter dieser Modelle durch Methoden der Regressionsanalyse zu schätzen.

2) Eine Alternative ist die sogenannte Differenzenmethode. Unter der Annahme, daß der Trend durch ein Polynom beschreibbar ist, geht man von (X(t), t = 1, …, n)) aus, und geht in jedem Schritt d über zu der Zeitreihe Δd (X(t)), t = d + 1, …, n, mit \begin{eqnarray}{\Delta}^{d}X(t)={\Delta}^{d-1}X(t)-{\Delta}^{d-1}X(t-1),\end{eqnarray}

so lange, bis die entstehende Zeitreihe keinen polynomialen Trend mehr enthält. Die Ordnung des Polynoms wird durch den letzten Schritt d bestimmt. Die neue durch die Differenzenbildung erhaltene Zeitreihe hat keinen (polynomialen) Trend mehr. In ähnlicher Weise kann durch ein- oder mehrmalige Anwendung des Operators Δs mit Δs X(t) = X(t) − X(ts) eine periodische Schwankung mit der Periode s identifiziert und eliminiert werden.

Eine weitere Methode besteht in der sogenannten Glättung von Zeitreihen. Dazu paßt man einem kleinen Bereich der Zeitreihe eine Funktion, in der Regel ein Polynom, an, und schätzt den jeweiligen Meßwert X(t) der Zeitreihe durch den Wert \(\tilde{X}(t)\) der Funktion. Allgemein kann man diesen auch als Methode der gleitenden Mittel bezeichneten Vorgang durch die Vorschrift \begin{eqnarray}\tilde{X}(t)=\displaystyle \sum _{j=-k}^{k}{w}_{j}X(t+j)\end{eqnarray}

definieren, wobei wj bestimmte Gewichtsfaktoren mit \(\displaystyle {\sum}_{j=-k}^{k}{w}_{j}=1\) sind. Als eine Variante dieser Methode kann man die sogenannte exponentielle Glättung einer Zeitreihe betrachten. Diese wird zur kurzfristigen Vorhersage von Zeitreihen angewendet. Sind X(1), …X(n) n Beobachtungswerte von X(t), so wird X(n + 1) durch \begin{eqnarray}\tilde{X}(n+1)=\frac{\displaystyle {\sum}_{j=0}^{n-1}{a}^{j}X(n-j)}{\displaystyle {\sum}_{j=0}^{n-1}{a}^{j}}\end{eqnarray}

geschätzt. a ist dabei eine im Bereich 0 < a < 1 frei wählbare Konstante. Je näher a bei 1 liegt, desto größer wird der Einfluß zurückliegender Werte auf die Vorhersage \(\tilde{X}(n+1)\). Relativ kurzfristige Veränderungen des Trends bleiben in diesem Fall unberücksichtigt; es erfolgt eine starke Glättung.

4) Unter der Annahme, daß die Zeitreihe im weiteren Sinne stationär ist, also das Modell X(t) = μ+ U(t) vorliegt, erfolgt eine Anpassung der Zeitreihe (X(t))tT durch AR-, MA-, ARMA-, oder ARIMA-Modelle (Modelle der Zeitreihenanalyse).

5) Unter der Voraussetzung X(t) = μ + U(t) interessiert man sich auch häufig nur für Frequenzen und Periodenlängen verborgener Oszillationen in der stationären Zeitreihe. Diese werden durch Schätzungen von Spektraldichten (Spektraldichteschätzung) bzw. Schätzung und Analyse der Autokorrelationsfunktion (Korrelationsfunktion) der Zeitreihe ermittelt.

[1] Andel, J.: Statistische Analyse von Zeitreihen. Akademie-Verlag Berlin, 1984.
[2] Chatfield, C.: Analyse von Zeitreihen. BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1982.
[3] Gilchrist, W.: Statistical Forecasting. San Francisco, 1976.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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