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Lexikon der Mathematik: Zentralprojektion

Perspektive, eine Abbildung von Punkten des projektiven Raumes, welche durch den menschlichen Sehvorgang und durch die Schattenbildung bei punktförmiger Beleuchtung motiviert ist.

Sie ist durch das Projektionszentrum Z und die Bildebene π festgelegt. Ein Punkt XZ wird auf \begin{eqnarray}{X}^{c}=(Z\vee X)\cap \pi \end{eqnarray} abgebildet, wobei ZX die Verbindungsgerade von X mit Z, den Projektionsstrahl, bezeichnet.

Durch Betrachten eines perspektiven Bildes eines Objektes von der richtigen Stelle aus ‘sieht’ man dieses Objekt ‘so wie in Wirklichkeit’. Das Abbildungsprinzip war in der Antike bekannt und wurde in der Renaissance durch Filippo Brunellesci (ca. 1410) wiederentdeckt. Schriftliche Zeugnisse stammen von Leon Battista Alberti und Albrecht Dürer.

Die Zentralprojektion wird durch eine Photokamera mehr oder weniger präzise nachgeahmt (Anwendungen in der Photogrammetrie und im computer vision). Anaglyphen und Stereobilder, sowie die stereographische und die gnomonische Kartenprojektion sind ebenfalls Zentralprojektionen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Zentralprojektion
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Zentralprojektion

Bei einer Zentralprojektion werden Geraden, die nicht durch das Projektionszentrum gehen, auf Geraden der Bildebene abgebildet. Erweitert man den Euklidischen Raum ℝ3 zu einem projektiven Raum durch Hinzufügen von Fernpunkten, so spielen diese bei der Zentralprojektion keine Sonderrolle. Soll eine Zentralprojektion zum Veranschaulichen von Sachverhalten unseres dreidimensionalen Raumes dienen, so sind meistens horizontale Ebenen ausgezeichnet. Die Bilder \({A}_{u}^{c}\) von horizontalen Fernpunkten Au liegen dann auf dem sogenannten Horizont \({h}_{u}^{c}\).

Teilverhältnisse von Punkten auf einer Geraden bleiben bei Zentralprojektion nicht invariant, aber Doppelverhältnisse bleiben es.

[1] Alberti, L. B.: Della pintura. Florenz, 1435.
[2] Brauner, H., Kickinger, W.: Baugeometrie, Bd. 2. Bauverlag Wiesbaden, Berlin, 1982.
[3] Dürer, A.: Unterweisung der Messung mit Zirkel und Richtscheit. Nürnberg, 1525.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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