dient der Untersuchung des Flusses eines Differentialgleichungssystems bzw. allgemeiner eines dynamischen Systems in der Nähe eines Gleichgewichtspunktes, der nicht hyperbolischer Fixpunkt ist.

Wir betrachten ein auf einer offenen Teilmenge W ⊂ ℝⁿ definiertes Vektorfeld f : W → ℝⁿ mit Fixpunkt x₀ ∈ W. Falls x₀ hyperbolischer Fixpunkt ist, wird gemäß dem Hartman-Grobman-Theorem der Fluß in der Nähe von x₀ durch die (Eigenwerte der) Linearisierung Df(x₀) bestimmt. Die Zentrumsmannigfaltigkeit dient der Untersuchung des Flusses für die Eigenwerte von Df(x₀) mit Realteil Null (hyperbolische lineare Abbildung). Es gilt das Zentrumsmannigfaltigkeits-Theorem:

Es sei ein C^r-Vektorfeld f gegeben mit Fixpunkt x₀. Es bezeichne E⁻, E⁺, E⁰den stabilen, den instabilen bzw. den Zentrumsraum von Df (x₀). Dann existieren tangential zu E⁻, E⁺bzw. E⁰C^r-Mannigfaltigkeiten W⁻und W⁺und eine C^r−1-Mannigfaltigkeit W⁰, die invariant unter dem Fluß des durch f erzeugten Vektorfeldes sind. Die Mannigfaltigkeiten W⁻, W⁺sind eindeutig bestimmt, W⁰jedoch nicht.

W⁻, W⁺ und W₀ heißen stabile, instabile bzw. Zentrumsmannigfaltigkeit. Die Flüsse auf W⁻ und W⁺ sind (asymptotisch) stabil bzw. instabil, über den Fluß auf der Zentrumsmannigfaltigkeit W⁰ ist keine allgemeine Aussage möglich.

[1] Chow, Shui-Nee; Hale, Jack K.: Methods of Bifurcation Theory. Springer-Verlag New York, 1982.
[2] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.