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Lexikon der Mathematik: Zentrumsmannigfaltigkeit

dient der Untersuchung des Flusses eines Differentialgleichungssystems bzw. allgemeiner eines dynamischen Systems in der Nähe eines Gleichgewichtspunktes, der nicht hyperbolischer Fixpunkt ist.

Wir betrachten ein auf einer offenen Teilmenge W ⊂ ℝn definiertes Vektorfeld f : W → ℝn mit Fixpunkt x0W. Falls x0 hyperbolischer Fixpunkt ist, wird gemäß dem Hartman-Grobman-Theorem der Fluß in der Nähe von x0 durch die (Eigenwerte der) Linearisierung Df(x0) bestimmt. Die Zentrumsmannigfaltigkeit dient der Untersuchung des Flusses für die Eigenwerte von Df(x0) mit Realteil Null (hyperbolische lineare Abbildung). Es gilt das Zentrumsmannigfaltigkeits-Theorem:

Es sei ein Cr-Vektorfeld f gegeben mit Fixpunkt x0. Es bezeichne E, E+, E0den stabilen, den instabilen bzw. den Zentrumsraum von Df (x0). Dann existieren tangential zu E, E+bzw. E0Cr-Mannigfaltigkeiten Wund W+und eine Cr−1-Mannigfaltigkeit W0, die invariant unter dem Fluß des durch f erzeugten Vektorfeldes sind. Die Mannigfaltigkeiten W, W+sind eindeutig bestimmt, W0jedoch nicht.

W, W+ und W0 heißen stabile, instabile bzw. Zentrumsmannigfaltigkeit. Die Flüsse auf W und W+ sind (asymptotisch) stabil bzw. instabil, über den Fluß auf der Zentrumsmannigfaltigkeit W0 ist keine allgemeine Aussage möglich.

[1] Chow, Shui-Nee; Hale, Jack K.: Methods of Bifurcation Theory. Springer-Verlag New York, 1982.
[2] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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