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Lexikon der Mathematik: zerlegbarer Operator

ein Operator, der in einem verallgemeinerten Sinn eine spektrale Zerlegung gestattet.

Es sei T : XX ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum. Ein abgeschlossener Unterraum YX heißt spektralmaximaler Unterraum, falls Y invariant ist (d. h. T(Y) ⊂ Y), und wenn für jeden weiteren abgeschlossenen invarianten Unterraum ZX die Implikation \begin{eqnarray}\sigma (T_{|Z})\subset \sigma (T_{|Y})\,\,\Rightarrow\,\, Z\subset Y\end{eqnarray} gilt; hier bezeichnet σ(T|Z) das Spektrum der Einschränkung von T auf Z.

Der Operator T heißt nun zerlegbar, falls zu jeder endlichen offenen Überdeckung G1, …, Gn von σ(T) spektralmaximale Unterräume Y1, …, Yn von X mit σ(T|Yj) ⊂ Gj und X = Y1 + ⋯ + Yn existieren; die Summe braucht nicht direkt zu sein.

Die zerlegbaren Operatoren bilden eine sehr allgemeine Klasse von Operatoren, die eine reichhaltige Spektraltheorie zulassen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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