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Lexikon der Mathematik: Zerlegung eines Elements in irreduzible Faktoren

Darstellung des Elements f als Produkt \(f=\displaystyle {\prod }_{i=1}^{m}{f}_{i},{f}_{i}\) ein irreduzibles Ringelement für alle i.

In einem ZPE–Ring gilt:

g ist irreduzibel genau dann, wenn g Primelement ist.

Es gilt stets, daß die Eigenschaft, prim zu sein, die Eigenschaft, irreduzibel zu sein impliziert. Die Umkehrung gilt nicht. Im durch \(\sqrt{-5}\) definierten Erweiterungsring \({\mathbb{Z}}[\sqrt{-5}]\) des Rings der ganzen Zahlen \({\mathbb{Z}}\) ist das Element 2 irreduzibel, aber nicht prim: \begin{eqnarray}2\,\,\text{teilt}\,\,6\,\,\,\,\,\text{und}\,\,6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),\end{eqnarray} aber 2 teilt nicht \(1+\sqrt{-5}\) und \(1-\sqrt{-5}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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